Mengenal Contoh Soal Permutasi Berdasarkan Jenisnya

Bagi anak-anak yang X, XI, dan XII di bangku SMA, SMK dan Madrasah Aliyah pastinya akan menemui contoh soal permutasi dalam pembelajaran, khususnya di bidang matematika. Secara sederhana rumus ini adalah pola pencacahan yang memperhatikan garis urutan. Oleh karenanya rumus ini sering menjadi hal yang banyak dibahas di dalam kelas.

Contoh soal permutasi sering menjadi objek pembahasan bagi guru dan siswa. Salah satu contoh sederhananya adalah mengenai permutasi r elemen dari n elemen. Pola ini bisa diselesaikan dengan P n/n = n. Demikianlah ilustrasinya.

Agar lebih lengkap berikut penjelasan mengenai contoh soal permutasi yang juga dilengkapi dengan sejarah permutasi hingga soal pembahasannya yang dilansir dari situs Sampoerna Academy:

Sejarah Permutasi dan Kombinasi

Ilmu mengenai permutasi dan kombinasi sudah dikenal sejak lama, konsep permutasi pertama kali digunakan di China pada tahun 1000 SM. Ketika itu, konsep permutasi di China digunakan dalam sebuah heksagram di Yi Jing.

Selanjutnya ada pula seorang matematikawan dan kriptografer asal Arab Saudi bernama Al-Khalil yang juga mengklaim bahwa penggunaan permutasi dan kombinasi pertama tercantum dalam bukunya yang berjudul ‘The Book of Cryptographic Messages’. Permutasi dan kombinasi itu digunakan untuk menyusun semua kemungkinan huruf Arab dengan atau tanpa huruf vokal.

Di sejumlah wilayah seperti di India, seorang ahli matematika asal India, Bhaskara II, mencetuskan permutasi dan kombinasi dalam budaya Lilavati pada 1150. Dirinya menjelaskan bahwa hasil kali dari perkalian barisan aritmatika yang diawali dan ditambah dengan satu dan berlanjut ke bilangan tempat, akan menjadi variasi bilangan dengan angka tertentu.

Selain itu, ada juga pada tahun 1677, di mana Fabian Stedman menjelaskan jumlah permutasi lonceng dalam perubahan dering.

Setelah itu, ilmuwan asal Italia, Joseph Lous Lagrange pada 1770an menemukan sebuah permasalahan yang harus diselesaikan dengan konsep permutasi dan pada akhirnya konsep itu dijelaskan oleh Evariste Galois melalui teori Galois.

Permutasi dan kombinasi juga kabarnya merupakan pengembangan dari teori peluang yang dicetuskan oleh ilmuwan asal Prancis bernama Blaise Pascal pada 1654. Uniknya, teori peluang tersebut tercetus saat ia ingin mengetahui permasalahan yang ada di dalam perjudian.

Ketika itu, Pascal diminta oleh seorang penjudi Chevalier de Mere untuk menganalisa mengapa dia kalah dalam berjudi. Merespons permintaan itu, Pascal kemudian berdiskusi dengan ilmuwan lainnya, yakin Pierre de Fermat untuk menganalisis masalah tersebut.

Hasilnya, Pascal akhirnya menemukan bahwa ternyata sistem dari perjudian tidak akan pernah berpihak pada penjudi. Namun demikian, masih belum diketahui secara pasti siapa sebenarnya sosok yang memang menemukan konsep dari permutasi dan kombinasi.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Perbedaan yang paling jelas dari permutasi dan kombinasi sesuai dengan definisinya masing-masing, di mana keduanya berbeda caranya, permutasi dengan urutan, sedangkan kombinasi tidak. Selain soal urutan, permutasi dan kombinasi juga beda dalam penempatan dan posisi. Di mana di kombinasi tidak diperlukan.

Permutasi biasanya digunakan untuk mengatur huruf, angka, benda, sampai orang. Sedangkan kombinasi biasanya digunakan dalam memilih satu item yang spesifik seperti menu makanan, pakaian, serta subjek. Dari segi jawaban antara permutasi dan kombinasi juga berbeda, dimana permutasi cenderung menanyakan berapa banyak urutan yang bisa disusun dari sebuah objek, sedangkan kombinasi adalah cara untuk menentukan berapa banyak kelompok yang berbeda yang dapat diambil.

Contoh sederhana dari Permutasi dan Kombinasi

1. Sebuah kotak yang berisikan tiga buah bola dengan warna yang berbeda-beda, yaitu merah, kuning, hijau. Budi diminta untuk mengambil dua bola secara acak tetapi urutannya harus diperhatikan. Berapakah kemungkinan pasangan yang bisa diambil oleh Budi?

Jawaban: Kasus tersebut merupakan contoh soal permutasi karena jelas ada pernyataan harus urut, dengan menggunakan rumus permutasi maka kemungkinan yang bisa diambil dari kotak tersebut adalah merah-kuning, kuning-merah, kuning-hijau, hijau-kuning, merah-hijau, dan hijau-merah. Jadi ada enam permutasi yang bisa digunakan untuk mengambil 2 bola dalam kotak.

2. Di dalam sebuah kelas ada tiga murid, yaitu A, B, dan C. Dari tiga murid tersebut guru harus memilih dua orang saja untuk mewakili kelas dalam lomba menggambar. Berapa banyakkah kombinasi dua orang yang dibuat dari tiga orang murid tersebut?

Jawaban: Soal ini merupakan contoh kasus kombinasi. Karena pada dasarnya kombinasi ini tidak diperlukan urutan, maka secara logika kombinasi yang bisa dibuat dari tiga murid itu adalah A dengan B, A dengan C, serta B dengan C.

Jadi ada tiga kemungkinan pasangan yang bisa dipilih oleh guru untuk mewakili kelas.

Rumus Permutasi

Permutasi dibagi menjadi tiga jenis, yaitu permutasi dengan unsur sama, permutasi dengan unsur berbeda, serta permutasi siklis.

1. Permutasi dengan Unsur Sama

Permutasi unsur sama pada dasarnya harus memperhatikan secara detail bahwa tidak diperbolehkan adanya kemungkinan yang sama atau diulang.

Rumus Permutasi dengan unsur sama

Keterangan:

P = permutasi

n = jumlah keseluruhan unsur

a, b, c = unsur yang sama

! = nilai faktorial

• Contoh Soal Permutasi Unsur Sama

Sebuah kotak berisi ada 6 jenis bola. Dari 6 bola itu ada 3 bola sepak, 2 bola basket, dan 1 bola voli. Jika jika bola-bola itu disusun teratur dalam sebaris, berapakah banyak susunan yang bisa dibuat?

Jawaban:

n = 6

a = 3

b = 2

c = 1

P = ?

P =.6! / 3!2!1!

P = 6x5x4x3x2x1 / (3x2x1)(2×1) (1×1)

P = 6x5x4 / 2×1

P = 120 / 2

P = 60

Maka susunan yang bisa dibuat dari 6 jenis bola itu adalah 60 susunan.

2. Permutasi dengan Unsur Berbeda

Permutasi dengan unsur yang berbeda terjadi ketika kita diminta untuk memilih hanya sebagian objek dari keseluruhan objek yang tersedia. Jadi secara sederhana contoh dari permutasi unsur yang berbeda terjadi seperti saat Budi yang diminta memilih bola tadi.

Rumus Permutasi Unsur Berbeda:

P = Permutasi

n = jumlah keseluruhan unsur

r = jumlah unsur yang harus dipilih

! = nilai faktorial

• Contoh Soal Permutasi Unsur Berbeda

Sebuah organisasi yang beranggotakan 8 orang ingin membuat susunan pengurus harian yang terdiri dari 4 posisi, yaitu ketua, wakil, sekretaris, dan bendahara. Berapakah kemungkinan peluang susunan panitia yang bisa dibuat?

Jawaban:

n = 8

r = 4

P= ?

8P4 = 8!/(8-4)!

8P4 = (8x7x6x5x4x3x2x1) / (4x3x2x1)

8P4 = 8x7x6x5

8P4 = 1680

Jadi ada 1680 cara untuk membuat susunan 3 pengurus harian dari 8 orang.

3. Permutasi Siklis

Permutasi Siklis sesuai dengan namanya yaitu siklis alias melingkar. Jadi permutasi ini digunakan untuk menyusun unsur berbeda dengan kondisi melingkar. Biasanya, contoh soal dari permutasi siklis ini adalah menentukan tempat duduk di dalam sebuah meja.

Berikut ini adalah rumus dari permutasi siklis:

Rumus Permutasi Siklis:

Keterangan

P = permutasi

n = jumlah keseluruhan unsur

! = nilai faktorial

Contoh Soal Permutasi Siklis

Sebuah kelompok focus group discussion memiliki peserta 5 orang per meja jika harus harus menentukan tempat duduk para pesertanya, berapakah variasi dari tempat duduk yang bisa dibuat?

Jawaban:

n = 5

P = (n-1)!

P = (5-1)!

P = 4!

P= 4x3x2x1

P= 24

Jadi ada 24 variasi tempat duduk yang bisa dibuat dari 5 peserta.

Rumus Kombinasi:

Berbeda dari permutasi yang memiliki tiga jenis, kombinasi hanya memiliki satu jenis saja. Rumus dasar dari kombinasi antara lain:

Keterangan:

C = kombinasi

n = jumlah objek seluruhnya

r = jumlah objek yang harus dipilih

! = nilai faktorial

Contoh soal Kombinasi:

4 pesawat terbang akan 2 di antaranya akan diterbangkan ke Pulau Bali. Ada berapakah kemungkinan cara yang bisa dilakukan untuk memilih pesawat tersebut?

Jawaban:

C: ?

n: 4

r: 2

4C2 = 4! / (2! (4-2)!

4C2 = 4x3x2x1 / ((2×1)(2×1))

4C2 = (4×3) / (2×1)

4C2 = 12 / 2

4C2 = 6

Jadi ada 6 cara untuk memilih pesawat yang akan diterbangkan ke Pulau Bali.

Budi ingin membeli 5 potong roti di sebuah toko yang menjual 8 jenis roti berbeda. Di antara kelima itu, Budi sudah menentukan 2 roti yang akan dipilihnya, berapa banyak kombinasi roti yang mungkin dibeli oleh Budi?

Jawaban:

Karena Budi sudah memastikan akan memilih 2 roti, artinya tersisa 3 slot roti lagi yang akan dipilih oleh Budi dan juga tersisa 6 pilihan dari semua jenis yang bisa dipilih Budi. Oleh karena itu pengerjaannya adalah sebagai berikut:

6C3 = 6! / (3! (6-3)!)

6C3 = (6x5x4x3x2x1) / ((3x2x1) (3x2x1))

6C3 = (6x5x4) / (3x2x1)

6C3 = 120 / 6

6C3 = 20

Jadi kombinasi 5 potong roti yang bisa dibeli oleh Budi adalah 20.

Aplikasi Rumus Permutasi dan Kombinasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Sesuai yang telah dijelaskan di atas, ada berbagai macam aktivitas yang bisa dilakukan dengan memanfaatkan konsep permutasi dan kombinasi.

Contoh-contohnya antara lain:

1. Menentukan jumlah murid yang bisa mewakili sekolah untuk mengikuti lomba.
2. Memecahkan kode loker, pin atm, password handphone.
3. Menentukan kemungkinan pasangan dari kombinasi paket promo di dalam menu makanan.
4. Menentukan susunan tempat duduk
5. Memilih kombinasi pakaian
6. Menentukan jadwal piket
7. Menentukan pembagian pekerjaan dalam sebuah kelompok.