Rumus deret aritmatika menjadi salah satu rumus yang penting dalam pelajaran matematika. Tak hanya itu, rumus ini juga penting dalam kehidupan sehari-hari.
Penerapan rumus tersebut dalam kehidupan sehari-hari contohnya yakni setiap angka yang berderet memiliki kelipatannya. Hal ini dapat muncul dari berbagai fenomena dan situasi seperti deret angka tertentu dalam data tertentu.
Berkaitan dengan hal tersebut, menarik mengetahui rumus deret aritmatika. Simak penjelasannya dalam uraian berikut.
Pengertian Deret Aritmatika
Sebelum memahami rumus dan contoh penerapan rumus deret aritmatika, menarik memahami pengertiannya terlebih dahulu. Deret aritmatika adalah suatu urutan bilangan dimana setiap bilangan berbeda dari bilangan sebelumnya dengan selisih atau beda yang tetap.
Selisih ini disebut dengan "beda" atau "selisih aritmatika" (d). Dalam deret aritmatika, setiap elemen atau suku dalam urutan tersebut dihasilkan dengan menambahkan (atau mengurangkan) selisih aritmatika ke suku sebelumnya.
Contoh deret aritmatika sederhana adalah 2, 4, 6, 8, 10, di mana selisih aritmatikanya adalah 2 karena setiap bilangan bertambah 2 dari bilangan sebelumnya. Deret aritmatika sering digunakan dalam matematika untuk permasalahan yang melibatkan penjumlahan atau pengurangan secara berulang, seperti perhitungan total dari sejumlah suku dalam deret tersebut atau menemukan suku ke-n dalam deret.
Rumus-rumus umum yang terkait dengan deret aritmatika mencakup rumus untuk menghitung suku ke-n, jumlah n suku pertama, selisih, dan berbagai karakteristik lainnya yang memudahkan perhitungan dalam konteks deret aritmatika.
Rumus Barisan dan Deret Aritmatika
Rumus matematika adalah pernyataan matematis yang digunakan untuk menggambarkan hubungan atau aturan dalam konteks matematika. Rumus matematika digunakan untuk menghitung, memodelkan, atau mengekspresikan konsep matematika secara kuantitatif.
Rumus matematika umumnya mengandung simbol-simbol matematika, operasi, dan variabel yang mewakili elemen-elemen dalam suatu permasalahan atau hubungan matematika. Rumus tersebut salah satunya yakni rumus deret aritmatika.
Contoh rumus matematika lainnya yakni termasuk rumus luas dan keliling persegi panjang, rumus volume bola, rumus persamaan kuadrat. Selain itu, banyak rumus lainnya dalam berbagai cabang matematika seperti geometri, aljabar, trigonometri, dan kalkulus.
Rumus matematika memainkan peran penting dalam penyelesaian permasalahan matematika, ilmu fisika, ilmu ekonomi, rekayasa, dan berbagai bidang ilmu pengetahuan lainnya. Mereka membantu kita dalam pemodelan, perhitungan, dan pemecahan masalah yang melibatkan aspek kuantitatif.
Menurut Zenius, terdapat rumus yang berkaitan dengan barisan aritmatika untuk menghitung suku ke-n, total, atau selisihnya.
Rumus barisan aritmatika adalah:
Un = a + (n - 1)b.
Penjelasan:
Un adalah suku ke-n
U1 adalah suku pertama
b adalah selisih
n adalah urutan ke-
Siswa juga dapat menghitung selisih (b) dalam barisan aritmatika dengan rumus b = Un - Un-1.
Setelah memahami barisan aritmatika, kita bisa melanjutkan dengan deret aritmatika (Sn), yang merupakan hasil penjumlahan semua suku dalam barisan aritmatika. Deret aritmatika adalah barisan di mana setiap suku diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan suku sebelumnya dengan bilangan tertentu.
Sebagai contoh, jika kita mencari deret aritmatika jumlah 5 suku pertama dalam barisan 4, 8, 12, 16, 20, maka jumlahnya adalah 60 (4 + 8 + 12 + 16 + 20).
Siswa juga dapat menghitung deret aritmatika untuk banyak suku pertama suatu barisan dengan rumus:
Sn = 1/2n(a + Un).
Rumus deret aritmatika dalam barisan aritmatika adalah:
Sn = 1/2n(2a + (n - 1)b).
Penjelasan:
Sn adalah jumlah n suku pertama dalam deret aritmatika
Un adalah suku ke-n
a adalah suku pertama
b adalah selisih
n adalah jumlah atau banyaknya suku
Contoh Penggunaan Rumus Deret Aritmatika
Setelah mengetahui penjelasan dan rumus baris serta deret aritmatika, menarik mengetahui penerapannya dalam soal. Berikut ini contoh penggunaan rumus deret aritmatika selengkapnya:
Contoh Soal Rumus Deret Aritmatika 1
Dalam sebuah deret aritmatika 3, 6, 9, 12, 15 yang telah diberikan, Berkenaan dengan deret tersebut, maka:
1. Hitung jumlah dari 5 suku pertama.
2. Buktikan bahwa U5 = S5 - S4.
Jawaban:
a. Jumlah dari 5 suku pertama (n = 5):
U1 = a = 3
b = Un – Un-1
= U2 – U1
= 6 - 3
= 3
U5 = a + (5-1) b
= 3 + (5-1) 3
= 3 + 12
= 15
S5 = n/2 (a + U5)
= 5/2 (3 + 15)
= 5/2 (18)
= 45
b. Untuk membuktikan U5 = S5 - S4:
U5 = S5 – S4
= (5/2 (3 + 15)) – (4/2 (3 + 12))
= 45 – 30
= 15
Contoh Soal Rumus Deret Aritmatika 2
Hitung nilai U12 jika S11 = 100 dan S12 = 150.
Jawaban:
U12 = S12 – S11
= 150 - 100
= 50
Contoh Soal Rumus Deret Aritmatika 3
Tentukanlah jumlah 20 suku pertama deret 3 + 7 + 11 + ...
Jawab:
Langkah pertama adalah mencari selisih (b) dengan mengurangkan suku setelahnya dengan suku sebelumnya:
b = Un - Un-1
b = U2 - U1
b = 7 - 3
b = 4
Selanjutnya, kita bisa menggunakan rumus deret aritmatika untuk mencari S20:
Sn = 1/2n (2a + (n-1) b)
Sn = 1/2 . 20 (2.3 + (20 - 1) 4)
Sn = 10 (6 + 19.4)
Sn = 10 (6 + 76)
Sn = 10 (82)
Sn = 820
Jadi, jumlah 20 suku pertama dari deret ini adalah 820.
Contoh Soal Rumus Deret Aritmatika 4
Tentukanlah rumus Sn jika diberikan barisan aritmatika dengan rumus Un = 6n-2.
Jawab:
Dengan diketahui Un = 6n-2, kita dapat mencari suku-suku pertama (U1, U2, U3) dengan mensubstitusi n = 1, 2, 3, seperti berikut:
Untuk mencari a:
U1 = 6(1) - 2 = 4
U2 = 6(2) - 2 = 10
Selanjutnya, kita mencari selisih (b):
b = U2 - U1
b = 10 - 4
b = 6
Setelah mengetahui nilai a (4) dan b (6), kita dapat mencari rumus Sn:
Sn = 1/2n (2a + (n-1) b)
Sn = 1/2n (2.4 + (n-1) 6)
Sn = 1/2n (8 + 6n - 6)
Sn = 1/2n (6n + 2)
Sn = 3n^2 + n
Jadi, rumus Sn untuk barisan aritmatika ini adalah Sn = 3n^2 + n.
Demikianlah penjelasan tentang deret aritmatika, rumusnya, serta beberapa contoh soalnya, termasuk perbedaan antara barisan dan deret aritmatika.