Akar-akar Persamaan Kuadrat, Pengertian, Jenis, dan Cara Mencarinya

Dalam mata pelajaran matematika SMA, terdapat berbagai materi yang harus dipelajari siswa. Salah satunya yaitu materi mengenai akar-akar persamaan kuadrat.

Akar-akar persamaan kuadrat sendiri merupakan nilai faktor-faktor dari setiap persamaan yang biasanya digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan di bidang-bidang tertentu.

Untuk memahami materi tersebut lebih mendalam, berikut ini penjelasan mengenai akar-akar persamaan kuadrat mulai dari pengertian, jenis, hingga cara mencarinya. 

Pengertian Akar-akar Persamaan Kuadrat

Dilansir dari buku Kupas Matematika SMA untuk kelas 1, 2, & 3 karya Ari Damari, akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat.

Akar persamaan juga dapat diartikan sebagai suatu nilai dari variabel x yang memenuhi ax^2 + bx + c = 0 (bentuk umum dari persamaan kuadrat).

Setiap persamaan memiliki dua kemungkinan nilai x karena sifatnya yang merupakan persamaan dengan pangkat tertinggi dua.

Berdasarkan penjelasan tersebut, akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat yang biasanya disimbolkan sebagai x1 dan x2 .

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Secara umum, persamaan kuadrat dibagi menjadi empat, yaitu sebagai berikut.

1. Persamaan Kuadrat Biasa

Persamaan kuadrat biasa adalah persamaan kuadrat yang nilai a = 1. Berikut ini contohnya.

x² + 3x + 2 = 0

2. Persamaan Kuadrat Murni

Persamaan kuadrat murni adalah persamaan kuadrat yang nilai b = 0. Berikut ini contohnya.

x² + 2 = 0

3. Persamaan Kuadrat Tak Lengkap

Persamaan kuadrat tak lengkap adalah persamaan kuadrat yang nilai c = 0. Berikut ini contohnya.

x² + 3x = 0

4. Persamaan Kuadrat Rasional

Persamaan kuadrat rasional adalah persamaan kuadrat yang nilai koefisien dan konstantanya berupa bilangan rasional. Berikut ini contohnya.

4x² + 3x + 2 = 0

Cara Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat

Dilansir dari e-paper yang berjudul Metode untuk Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat oleh Nabilla Shafira, berikut ini adalah cara alternatif menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

1. Memfaktorkan

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu:

Persamaan dinyatakan dalam bentuk baku sehingga salah satu ruasnya adalah nol. Yaitu: ax&³2; + bx + c = 0 atau 0 = ax&³2; + bx + c

Kemudian bentuk ax&³2; + bx + c difaktorkan, dengan menggunakan sifat; jika pq = 0, maka p = 0, dan q = 0, sehingga langkah penyelesaiannya seperti berikut:

^{Nabilla Shafira/via researchgate.net}

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax&³2; + bx + c = 0 dengan melengkapi kuadrat sempurna, ditempuh langkah-langkah berikut ini:

• Koefisien x&³2; yaitu a adalah 1 atau dibuat menjadi 1
• Persamaan dinyatakan dalam bentuk x&³2; + mx = n
• Kedua ruas persamaan ditambah dengan (1/2 koefisien x&³2;)
• Persamaan dinyatakan dalam bentuk (x + p)&³2; = q
• (x + p)&³2; = q ↔ x + p = ± √q

3. Rumus ABC

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus, perlu diperhatikan hal-hal berikut:

• Persamaan harus dinyatakan dalam bentuk baku persamaan kuadrat, yaitu ax&³2; + bx + c = 0.
• Tentukan nilai a, b, dan c

Gunakan rumus penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:

^{Nabilla Shafira/via researchgate.net}

Dari rumus diatas tampak bahwa penyelesaian atau akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai b&³2; - 4ac. Bentuk b&³2; - 4ac disebut diskriminan dari persamaan kuadrat ax&³2; + bx + c = 0 dn dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = b&³2; - 4ac.

Pemberian nama diskriminan D = b&³2; - 4ac masuk akal, sebab nilai D = b&³2; - 4ac inilah yang membedakan (mendiskriminasikan) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat.

Dari rumus ABC diatas, diperoleh hubungan:

^{Nabilla Shafira/via researchgate.net}

Jenis akar-akar persamaan kuadrat:

• D ≥ → akar-akarnya real/nyata
• D > 0 → akar-akarnya real dan berlainan
• D = 0 → akar-akarnya real dan kembar
• D 0 → akar-akarnya imajiner/tidak real/khayal

4. Alternatif Lain

Ketika ingin menggunakan cara, maka perlu terlebih dahulu menentukan tanda dari akar-akar persamaan kuadrat sebelum menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Aturan tanda dari akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Pada persamaan ax&³2; + bx + c = 0, jika a dan c memiliki tanda yang berlawanan maka kedua akar memiliki tanda yang berlawanan.

Pada persamaan ax&³2; + bx + c = 0, jika a dan c memiliki tanda yang sama, maka:

• Jika a dan b memiliki tanda yang sama maka akar-akar persamaan kuadrat merupakan akar-akar yang negatif.
• Jika a dan b memiliki tanda yang berlawanan, maka akar-akar persamaan kuadrat merupakan akar-akar yang positif.

Setelah menentukan aturan tanda, maka persamaan kuadrat dapat diselesaikan.

Contoh Soal Akar-akar Persamaan Kuadrat

Berikut ini lima contoh soal yang bisa dipelajari agar lebih paham materi akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh Soal 1

Bentuk umum dari persamaan kuadrat x( x – 4 ) = 2x + 3 adalah

1. x2 – 2x + 3 = 0
2. x2 – 6x – 3 = 0
3. 2x2 + 6x – 3 = 0
4. x2 – 8x – 3 = 0

Pembahasan:

Bentuk umum dari persamaan kuadrat bisa dinyatakan sebagai berikut.

ax2 + bx + c = 0

Artinya, persamaan pada soal harus kamu arahkan ke bentuk umumnya.

x (x – 4) = 2x + 3

⇔ x2 – 4x = 2x + 3

⇔ x2 – 6x – 3 = 0

Jadi, bentuk umum persamaan kuadrat x (x – 4) = 2x + 3 adalah x2 – 6x – 3 = 0

Jawaban: B

Contoh Soal 2

bentuk faktorisasi dari persamaan x2 – 6x – 27 = 0 adalah

1. (x – 9)(x + 3) = 0
2. (x – 6)(x + 3) = 0
3. (x + 9)(x – 3) = 0
4. (x – 3)(x + 3) = 0

Pembahasan:

Pada faktorisasi, Anda harus menguraikan persamaan tersebut menjadi faktor-faktor penyusunnya. Untuk memfaktorkannya, ingat tips berikut.

x2 – 6x – 27 = 0

Pilihlah dua angka yang jika dikalikan akan menghasilkan -27 dan jika ditambahkan menghasilkan -6. Angka yang dimaksud adalah -9 dan 3. Dengan demikian, hasil faktorisasinya adalah sebagai berikut.

x2 – 6x – 27 = 0

(x – 9)(x + 3) = 0

Jadi, bentuk faktorisasi dari persamaan x2 – 6x – 27 = 0 adalah (x – 9)(x + 3) = 0

Jawaban: A

Contoh Soal 3

Perhatikan persamaan kuadrat berikut

x2 + 4x – 32 = 0

Jika x1 merupakan bilangan positif dan x2 merupakan bilangan negatif, nilai 2x1 + x2 adalah

1. -2
2. 5
3. 2
4. 0

Pembahasan:

Mula-mula, Anda harus memfaktorkan persamaan kuadrat pada soal

x2 + 4x – 32 = 0

⇔ (x + 8)(x – 4)=0

⇔ x = -8 atau x = 4

Di soal tertulis bahwa x1 merupakan bilangan positif dan x2 merupakan bilangan negatif. Artinya, x1 = 4 dan x2 = -8. Dengan demikian, 2×1 + x2 = 2(4) + (-8) = 0

Jadi, nilai 2x1 + x2 adalah 0

Jawaban: D

Contoh Soal 4

Sita memiliki selembar kertas yang panjangnya (x +4) cm dan lebarnya (x – 2) cm. Jika luas kertas tersebut 40 cm2, nilai x adalah

1. 10
2. 8
3. 6
4. 4

Pembahasan:

Mula-mula, substitusikan nilai panjang dan lebar kertas ke dalam persamaan luas

L = p x l

⇔ 40 = (x + 4)(x – 2)

⇔ 40 = x2 + 2x – 8

⇔ x2 + 2x – 8 – 40 = 0

⇔ x2 + 2x – 48 = 0

⇔ (x + 8)(x – 6) = 0

⇔ x = -8(TM) atau x = 6

Oleh karena nilai x yang memenuhi adalah 6, maka nilai x = 6

Jadi, nilai x adalah 6

Jawaban: C

Contoh Soal 5

Sebuah kelereng dijatuhkan dari atap suatu gedung. Persamaan gerak kelereng tersebut mengikuti persamaan ketinggian seperti berikut.

h(t) = 3x2 – 12x -12 dengan t dalam s dan h dalam m

Waktu yang diperlukan kelereng untuk mencapai tanah adalah

1. 4 s
2. 1 s
3. 3 s
4. 2 s

Pembahasan:

Saat menyentuh tanah, ketinggian bola = 0 atau h(t) = 0. Dengan demikian

h(t) = 3x2 – 12x -12

⇔ 3x2 – 12x -12 = 0

⇔ x2 – 4x – 4 = 0

⇔ (x – 2)(x – 2) = 0

⇔ x1 = x2 = 2

Jadi, waktu yang diperlukan kelereng untuk menyentuh tanah adalah 2 s.