Transformasi geometri merupakan salah satu materi matematika yang wajib dipelajari siswa mulai dari kelas 9 SMP hingga 11 SMA. Pada dasarnya, siswa akan mempelajari perubahan dari suatu bidang
Dilansir dari laman Quipper Blog, Transformasi geometri adalah perubahan posisi dan ukuran suatu benda atau objek pada bidang geometri seperti garis, titik, maupun kurva.
Karena berkaitan dengan garis dan titik, maka transformasi geometri ini bisa dituliskan dalam bentuk koordinat Cartesius maupun matriks.
Contoh transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari adalah saat bercermin dan bayangan terlihat jelas pada cermin tersebut. Selain itu, ilmu matematika ini juga diterapkan dalam desain arsitektur dan pembuatan karya seni.
Untuk bisa lebih memahami tentang transformasi geometri, berikut ini ulasan mengenai jenis-jenis dan contoh soalnya yang bisa dijadikan latihan.
Jenis-jenis Transformasi Geometri
Transformasi geometri terbagi menjadi empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi. Berikut dibawah ini pemaparan lengkap masing-masing jenisnya seperti yang dikutip dari laman Sampoerna Academy.
1. Translasi (Pergeseran)
Merupakan jenis transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.
Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.
Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan).
Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.
Rumus dari translasi itu sendiri adalah:
(x’,y’) = (a,b) + (x,y)
Keterangan:
x’, y’ = titik bayangan
x,y = titik asal
a,b = vektor translasi
2. Rotasi (Perputaran)
Rotasi merupakan sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar.
Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang.
Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing yang cara kerjanya nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tengah.
Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:
- Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x – a + b)
- Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b)
- Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y – b + a, -x + a + b)
- Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x)
- Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y)
- Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x)
3. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi atau pencerminan adalah perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi, yaitu:
- Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin.
- Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain.
Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika sedang bercermin.
Rumus umum dari refleksi antara lain:
- Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)
- Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)
- Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)
- Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)
- Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)
- Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k – y)
4. Dilatasi (Perkalian)
Dilatasi merupakan transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi.
Titik dari dilatasi menentukan posisi dari dilatasi. Titik ini menjadi tempat pertemuan dari semua garis lurus yang menghubungkan antara titik dalam suatu bangunan ke titik hasil dilatasi.
Sedangkan faktor dilatasi adalah faktor perkalian dari suatu bangun yang sudah didilatasikan.
Contoh sederhana dari dilatasi adalah miniatur yang biasanya dibuat dalam bentuk mainan, seperti mobil-mobilan. Mainan ini merupakan pengecilan dari sebuah objek besar.
Contoh lainnya adalah ketika mencetak sebuah foto dengan ukuran-ukuran tertentu tetapi tidak mengubah bentuk dari foto tersebut, mulai dari 2×3, 3×4, sampai 4×6.
Rumus umum dari dilatasi antara lain:
- Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx, ky)
- Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx = k(x-a) + a, (k(y-b) + b))
Contoh Soal Transformasi Geometri
Berikut ini adalah lima contoh soal dari berbagai sumber yang bisa dipelajari.
1. Persamaan peta kurva y = x&³2; – 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 adalah…
Pembahasan :
pencerminan terhadap sumbu x:
P ( x , y ) → P ‘ ( x , – y )
Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala 3 :
[O, k] : P(x,y) → P'(kx, ky)
[O,3k] : P(x,y) → P'(3x, 3y)
pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 :
P(x,y) → P ‘(x, -y) → P ”(3x, -3y)
2. Bayangan titik A (4,1) oleh pencerminan terhadap garis x =2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah titik….
Pembahasan :
4. Titik B (2, -1) didilatasi terhadap pusat (4, 2). Jika faktor pengalinya 2, tentukan koordinat akhir titik B!
Pembahasan:
Secara matematis, titik B dinyatakan sebagai berikut.
Titik koordinat B’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.
Jadi, koordinat B’ = (0, -4)
5. Titik A (2,4) akan didilatasikan sebesar tiga kali, dengan pusat yang berada di (-4,2), maka tentukanlah titik A
Pembahasan:
(x, y) = k(x-a) + a, K(y – b) + b
(2, 4) = 6(2 – (-4)) + (-4), 6(4 – 2) + 2
(2, 4) = (32, 14)
Maka letak titik A dari (2, 4) dengan dilatasi (-4,2) adalah (32, 14)
Itulah rangkuman informasi mengenai jenis dan contoh soal transformasi geometri yang bisa dipelajari agar lebih paham tentang materi ini.