2 Rumus Gradien Beserta Contoh Soal untuk Latihan
Dalam kehidupan, tingkat kemiringan sangat diperlukan dalam pembuatan jalan di daerah pegunungan yang umumnya menanjak, menurun, serta memiliki banyak belokan. Tingkat kemiringan inilah yang disebut sebagai gradien.
Untuk dpat menetukan tingkat gradien tersebut, ada rumus yang harus digunakan.
Lantas, apakah rumus tersebut? Simak penjelasannya di bawah ini.
Pengertian Gradien
Dikutip dari kelaspintar.id, Gradien adalah nilai kemiringan atau kecondongan suatu garis yang membandingkan antara dua komponen yaitu komponen Y (ordinat) dengan komponen X (absisi). Gradien inilah yang akan menentukan tingkat kemiringan yang terjadi pada suatu garis dalam koordinat Cartesius.
Gradien suatu garis bisa miring ke kanan, ke kiri, curam, maupun landai. Arah dan kemiringan garis ni ini tergantung dari nilai komponen X dan komponen Y nya.
Rumus Gradien
Berikut ini dua rumus untuk mennetukan tingkat gradien yang tepat.
1. Rumus Gradien dengan Persamaan Linier
Ada dua macam bentuk persamaan garis linear atau garis lurus. Oleh karena itu, cara untuk menentukan gradiennya pun berbeda, tergantung persamaan garisnya.
- Persamaan garis y = mx + c
Persamaan garis ini gradiennya mudah dicari karena merupakan koefisien dari variabel x, yaitu m. Misalnya:
- Garis y = 2x + 3 maka gradien garisnya adalah 2
- Garis y = -3x + 2 maka gradien garisnya adalah -3
- Persamaan garis ax + by + c = 0
Jika persamaan garisnya ax + by + c = 0, maka langkah pertama adalah mengubah persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c.
Jangan lupa untuk memperhatikan tanda +/- dari koefisien pada setiap variabel karena tanda ini akan berubah ketika pindah ruas persamaan.
2. Rumus Gradien dengan Dua Titik
Diketahui dalam suatu garis terdapat dua titik yang melaluinya, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka gradiennya bisa dicari dengan rumus m = ∆y/ ∆x = y2 - y1 / x2 - x1.
Misalnya terdapat dua titik pada suatu garis, yaitu titik (-4,2) dan (3,5). Berapa gradien pada garis tersebut?
Pembahasan:
(x1,y1) = (-4,2)
(x2,y2) = (3,5)
Masukan angka ke dalam rumus m = ∆y/ ∆x = y2 - y1 / x2 - x1
m = 5-2 / 3-(-4) = 3/7
Jadi, gradien pada garis tersebut yaitu 3/7.
Contoh Soal Gradien
Setelah memahami rumus gradien di atas, berikut ini contoh soal sebagai latihan yang diambil dari berbagai sumber.
Contoh Soal 1
Tentukan gradien dari garis-garis yang disebutkan di bawah ini!
a) y = 3x + 1
b) y = -2x + 5
c) y – 4x = 5
d) 3x -2y = 12
e) 4x + 2y – 3 = 0
Pembahasan:
a, b dan c dapat digunakan bentuk persamaan garis lurus:
y = mx + c
Dimana m adalah gradien.
Sehingga:
a) y = 3x + 1
m = 3
b) y = -2x + 5
m = -2
c) y – 4x = 5
y = 4x + 5
m = 4
Untuk d dan e dapat digunakan bentuk yang sama dengan a, b, c atau dibuat bentuk tersendiri:
ax + by = c
dimana m = − a/b
Sehingga:
d) 3x -2y = 12
m = − 3/−2
m = 3/2
e) 4x + 2y – 3 = 0
m = − 4/2
m = −2
Contoh Soal 2
Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = 2x -7 dan melalui titik (3, 2)!
Pembahasan:
Garis y = 2x -7 memiliki gradien m1 = 2. Garis lain yang sejajar dengan ini akan memiliki gradien sebesar:
m2 = −1/m1
Jadi, gradien garis itu adalah:
m = −1/2
Persamaan garisnya:
y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = -1/2(x – 3)
-2(y – 2) = x – 3
-2y + 4 = x – 3
-2y – x + 7 = 0
Atau
2y + x – 7 = 0
Contoh Soal 3
Tentukan titik potong dari garis y = 2x – 7 dan garis y = 3x + 1!
Pembahasan:
Titik potong kedua garis saat:
y = y
3x + 1 = 2x – 7
3x -2x = -7 -1
x = -8
y = 3x + 1
y = 3(-8) + 1
y = -24 + 1
y = -23
Perpotongan kedua garis terjadi pada titik (-8, -23)
Contoh Soal 4
Suatu garis lurus memiliki persamaan Y = -2x + 4. Tentukanlah gradien garis tersebut!
Pembahasan:
y = mx + c, m = gradient = -2
Jadi gradien garis tersebut adalah -2
Contoh Soal 5
Diketahui persamaan garis 4x + 2y-5 = 0. Tentukanlah gradien garis tersebut!
Pembahasan:
Jadi gradien garis tersebut adalah -2
Contoh Soal 6
Tentukanlah gradien garis yang melalui titik A (1,2 ) dan titik B (-2,3) !
Pembahasan:
Jadi gradien garis tersebut adalah – 1/3
Contoh Soal 7
Sebuah garis melalui titik pusat dan titik P (3,2). Tentukanlah gradien garisnya!
Pembahasan:
Jadi gradien garis tersebut adalah -2/3
Contoh Soal 8
Garis A tegak lurus dengan garis yang memiliki persamaan y = 8x +6. Tentukan gradien garis A!
Pembahasan:
Dua garis yang saling tegak lurus maka hasil kali gradiennya adalah -1, m1 x m2 = -1
m1 = 8
m1 x m2 = -1
8 x m2 = -1
m2 = -1/8
Contoh Soal 9
Tentukan gradien garis yang melalui titik A (-2,3) dan B(-1,5)!
Pembahasan:
Gradien garis yang melalui A (-2,3) dan B(-1,5) dirumuskan sebagai berikut
Jadi, gradien garis yang melalui titik A (-2,3) dan B(-1,5) adalah 2.
Contoh Soal 10
Tentukan gradien garis a yang melalui titik (4,3) dan sejajar garis b dengan persamaan y = 3x – 1.
Pembahasan:
Di soal disebutkan bahwa gradien garis a sejajar dengan garis b. Artinya, Anda harus mampu menganalisis bahwa gradien garis a dan b adalah sama.
Pertama, tentukan gradien garis b.
Persamaan garis b: y = 3x – 1
Persamaan garis lurus umum: y = mx + c
Dengan demikian, nilai m = 3. Artinya, gradien garis b = 3.
Ingat bahwa gradien garis b sama dengan a.
mb = ma = 3.
Jadi, gradien garis a = 3
