Menilik Rumus Deret Geometri Tak Hingga Beserta Contoh Soalnya

Deret geomtetri tak hingga merupakan salah satu materi matematika oleh akan dipelajari siswa SMA. 

Berdasarkan penjelasan dari buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, deret geometri tak hingga merupakan suatu deret geometri yang memiliki suku berjumlah tak hingga. 

Meskipun deret ini memiliki suku mencapai tak hingga namun tidak semua deret geometri tak hingga dapat kita tentukan jumlahnya. Oleh karena itulah, diperlukan penggunaan rumus agar bisa mengetahui jumlahnya.

Lantas, apa rumus deret geometri tak hingga? Berikut dibawah ini pembahasannya.

Rumus Deret Geometri Tak Hingga

Secara matematis, rumus jumlah deret geometri tak hingga dapat ditulis sebagai berikut:

Meliaht contoh di atas, maka dapat diperoleh rumus deret geometri divergen adalah:

 

Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

 

Artinya, seluruh deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 akan mendapatkan hasil ± ∞.

2. Rumus Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret geometri konvergen merupakan deret geometri tak hingga yang memiliki rentang antara –1 < r <

 

Artinya, deret geometri ini memiliki limit. Sehingga, nilai rasio akan semakin kecil dan mendekati nol.

 

Jika n = ∞ hasil r^n = 0. Maka, rumus deret geometri konvergen dapat diperoleh menjadi:

  

Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga

Berikut ini 15 contoh soal deret geometri tak hingga dan pembahasannya dari berbagai sumber yang bisa dipelajari agar paham penggunaan rumusnya.

Contoh Soal 1

Tentukan jumlah deret tak hingga dari 16 + 8 + 4 + 2 + ......

Jawab

16 + 8 + 4 + 2 + ......
a = 16
r = 12

merupakan deret konvergen

S∞=a1−r

S∞=161−12

S∞=1612

S∞=32

Contoh Soal 2

Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya adalah 13, nilai suku pertamanya adalah ...

Jawab
S∞=12

r = 13

a1−13=12

a23=12

a=12×23

a=8

Contoh Soal 3

Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya adalah 8, maka rasionya adalah ...
Jawab
S∞=24

a = 8
81−r=24

8=24−24r

−16=−24r

24r=16

r=1624

r=23

Contoh Soal 4

Tentukan nilai x agar deret geometri (x - 2) + (x -2)2 + (x - 2)3
+ .... merupakan deret konvergen!

Jawab

1 + (x - 2) + (x -2)2
+ (x - 2)3
+ ....
r = x - 2

Syarat konvergen -1< r < 1

-1 < x - 2< 1
-1 + 2 < x < 1+2
1 < x < 3

Contoh Soal 5

Jika suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 6, maka nilai a yang memenuhi deret geometri tersebut adalah ....
Jawab
S∞=6

a1−r=6

a=6−6r

a−6=−6r

r=a−6−6

r=6−a6

Karena memiliki jumlah maka r bernilai -1 < r < 1

−1<6−a6<1

−6<6−a<6

−12<−a<0

12>a>0
(dikali -1 maka tanda dibalik)
0

Contoh Soal 6

Berapakah hasil deret geometri berikut ini?
2 + 2/3 + 2/9 + ...

Penyelesaian:

a = 2 dan r = 1/3. Artinya, r berada dalam rentang -1 < r < 1, sehingga kita menggunakan rumus deret geometri konvergen.

S∞ = a / (1 - r)
S∞ = 2 / (1 - (1/3))
S∞ = 3

Jadi, hasil deret geometri tak hingga adalah 3.

Rumus Deret Geometri Tak Hingga (Freepik)

Contoh Soal 7

Hitunglah deret geometri di bawah ini!

1, -2, 4, -8, ....

Penyelesaian:

a = 1 dan r = -2. Artinya r < -1, maka r^n = –∞.
S∞ = (a/(1+2)) - ((a-∞)/(1+2))
S∞ = (a/3) - (-∞/3)
S∞ = (a/3) - (-∞)
S∞ = ∞

Jadi, hasil deret geometri tersebetu adalah ∞.

Contoh Soal 8

Tentukan jumlah deret tak hingga dari 81 + 27 + 9 + 3 + …

Alternatif penyelesaian:

Deret tak hingga di atas merupakan deret tak hingga konvergen, karena r = masuk dalam rentang -1 < r < 1, maka jumlah deret tak hingga adalah:

S∞ = a / 1 – r

= 81 / 1 – 1/3

= 81/ 2/3

= 81 ∙ 3/2