20 Contoh Soal Sudut Istimewa Trigonometri
Dalam pelajaran matematika SMA, terdapat materi yang wajib dipelajari siswa yaitu sudut istimewa trigonometri. Dilansir dari buku Jurus Sakti Menaklukkan Matematika SMA 1, 2, & 3 oleh Vani Sugiyono, Muttafaqur Rohmah (2010: 58), materi trigonometri adalah sebuah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut-sudut dalam sebuah segitiga.
Sementara itu, diikutip dari Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian oleh Dini Afriyanti (2006: 6), sudut-sudut istimewa adalah sudut yang nilai perbandingannya dapat diketahui langsung tanpa memerlukan alat bantu, baik berupa tabel maupun kalkulator.
Untuk informasi lebih jelasnya, simak pembahasannya berikut ini.
Kuadran Sudut Istimewa Trigonometri
Sudut istimewa dibagi kedalam 4 kuadran yaitu: kuadran I, kuadran II, kuadran III dan kuadran IV.
- Kuadran 1: Rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangen positif.
- Kuadran 2: Rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
- Kuadran 3: Rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
- Kuadran 4: Rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.
Berikut ini merupakan nilai sudut pada masing-masing kuadran
Contoh Soal Sudut Istimewa Trigonometri
Berikut di bawah ini 20 contoh soal sudut istimewa trigonometri dari berbagai sumber yang bisa dipelajari.
Contoh Soal 1
Berapa nilai sin 120°?
Pembahasan:
120 = 90 + 30, jadi sin 120° dapat dihitung dengan cara berikut:
Sin 120° = sin [90° + 30°]
= cos 30°
Sin 120° berada di kuadran 2, sehingga hasilnya positif. Apabila dilihat pada tabel, cos 30° = ½ √3. Jadi, nilai sin 120° adalah ½ √3.
Contoh Soal 2
Berapa nilai cos 315°?
Pembahasan:
315° = cos [360° - 45°]
= cos 45°
Apabila dilihat pada tabel, cos 45° = ½ √2. Jadi, nilai cos 315° adalah ½ √2.
Contoh Soal 3
Hitunglah tan 30° + tan 45 °
Jawab:
tan 30° + tan 45° = 1/3 √3 + 1 = 1/3 (√3 + 3)
Contoh Soal 4
Tunjukkan bahwa sin2 45o + cos2 45o = 1
Jawab:
sin2 45o + cos2 45o = (1/2 √2)2 + (1/2 √2)2 = ½ + ½ = 1
Contoh Soal 5
Carilah nilai dari Sin 30° + Cos 45°
Jawab:
Pada soal ini, Anda bisa menggunakan tabel nilai sudut istimewa trigonometri.
Dalam tabel tersebut,
Sin 30° memiliki nilai 1/2, sedangkan Cos 45° memiliki nilai (√2)/2.
Jadi, Sin 30° + Cos 45°
= 1/2 + (√2)/2
= (√2 + 1)
Contoh Soal 6
Tentukan nilai dari: 2 Cos 75° Cos 15°
Jawab:
2 Cos 75° Cos 15° = Cos [75 +15]° + Cos [75 – 15]°
= Cos 90° + Cos 60°
= 0 + ½
= ½
Contoh Soal 7
Sebuah menara tinggi berdiri tegak lurus di tepi sebuah danau. Jarak dari ujung menara ke permukaan danau adalah 100 meter.
Seorang pengamat berada pada sudut 30 derajat dari permukaan air dan melihat ujung menara. Berapa tinggi menara tersebut?
Jawab:
Dalam kasus ini, sudut 30 derajat yang dibentuk oleh pengamat dan permukaan air adalah sudut istimewa trigonometri. Mari kita sebut tinggi menara tersebut sebagai h.
Tinggi menara / Jarak menara ke permukaan air = Tangen 30°
h / 100 = (√3)/3
h = 100 × (√3)/3
h ≈ 57.74 meter
Jadi, tinggi menara tersebut adalah sekitar 57.74 meter.
Contoh Soal 8
Seorang arsitek sedang merancang atap segitiga untuk sebuah bangunan. Sudut tajam di sudut atas atap adalah 60 derajat. Panjang alas atap adalah 12 meter. Berapa tinggi atap tersebut?
Jawab:
Dalam kasus ini, sudut tajam 60 derajat adalah sudut istimewa trigonometri. Anggap tinggi atap tersebut sebagai h.
Anda dapat menggunakan trigonometri untuk mencari tinggi atap dengan memanfaatkan sudut 60 derajat dan panjang alas 12 meter.
Tinggi atap / Panjang alas atap = Tangen 60°
h / 12 = √3
h = 12 × √3
h ≈ 20.78 meter
Jadi, tinggi atap tersebut adalah sekitar 20.78 meter.
Contoh Soal 9
sin [-30°] = – sin 30°
= – 1/2
Contoh Soal 10
cos [-60°] = cos 60°
= 1/2
Contoh Soal 11
tan [-45°] = – tan 45°
= – 1
Contoh Soal 12
Soal: Berapa nilai sin 120°
Jawaban:
Cara 1
120 = 90 + 30, jadi sin 120° dapat dihitung dengan
Sin 120° = Sin [90° + 30°]
= Cos 30°
Nnilainya positif karena soalnya adalah sin 120°, di kuadran 2, maka hasilnya positif.
Cos 30° = ½ √3
Cara 2
Coba perhatikan gambar di bawah ini:
Selain cara 1, kita dapat membuat 120° = 180° – 60°. Sehingga:
Sin 120° = Sin [180° – 60°]
Dengan mengacu pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa
sin [180° – α°] = sin α°
maka akan diperoleh sebagai berikut:
Sin 120° = Sin [180° – 60°]
= sin 60o
= ½ √3
Contoh Soal 13
Sin 150 = sin [180 – 30]
= sin 30
= 1/2
Contoh Soal 14
Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°
Jawaban:
2 cos 75° cos 15° = cos [75 +15]° + cos [75 – 15]°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½
Contoh Soal 15
Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°
Jawaban:
sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 [105° + 15°] . cos 1/2 [105° – 15°]
= 2 sin 1/2 [120°] . cos 1/2 [90°]
= 2 sin 60° . cos 45°
= 2. 1/2 √3. 1/2 √2
= 1/2 √6
Contoh Soal 16
Tentukan nilai dari cos 75° – cos 15°
Jawaban:
cos 75° – cos 15° = -2 sin 1/2 [75° + 15°] . sin 1/2 [75° – 15°]
= -2 sin 1/2 [90°] . sin 1/2 [60°]
= -2 sin 45° . sin 30°
= -2. 1/2 √2. 1/2
= -1/2 √2
Contoh Soal 17
Soal: Tentukan nilai dari 2 sin75 cos15 !
Jawaban:
2 sin75 cos 15 = sin[75 + 15] + sin[75 – 15]
= sin 90 + sin 60
= 1 + 1/2 √3
Contoh Soal 18
Soal: Dengan menggunakan rumus penjumlahan dan selisih dua sudut, tentukan nilai dari !
- sin 75°
- cos 15°
Jawaban a :
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita perlu mengingat kembali rumus selisih dibawah ini:
sin [ α + β ] = sin α cos β + cos α sin β
sin 75° = sin [ 45° + 30°]
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 . 1/2 √3 + 1/2 √2 . 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2
= 1/4 [ √6 + √2]
Jawaban b:
Untuk menjawab pertanyaan di atas, Anda perlu mengingat kembali rumus selisih dibawah ini:
cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β
Kemudian kita dapat menjawab pertanyaan di atas.
Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut:
cos 15° = cos [ 45° – 30°]
= cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30
= 1/2 √2 . 1.2 √3 + 1/2 √2 . 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2
= 1/4 [ √6 + √2]
Contoh Soal 19
Diketahui cos (x – y) = 4/5 dan sin x.sin y = 3/10. Tentukan nilai tan x.tan y
Jawaban:
cos [x – y] = cos x cos y + sin x sin y
4/5 = cos x cos y + 3/10
4/5 – 3/10 = cos x cos y
1/2 = cos x cos y
tan x.tan y = [sin x sin y]/[cos x cos y]
= [3/10] / [1/2]
= 3/5
Contoh Soal 20
Jika yang diketahui adalah sin x = 8/10, 0 < x < 90°. Maka tentukan nilai cos 3x
Jawaban:
sin x = 8/10 cos x = 6/10
cos 3x = cos [2x + x]
= [cos 2x][cos x] – [sin 2x][sin x]
= cos [x + x][cos x] – [sin [x + x]][sin x]
= [cos2 x – sin2 x][cos x] – [x cos x + cos x sin x][sin x]
= [[3/5]2 – [4/5]2][3/5] – [4/5.3/5 + 3/5.4/5][4/5]
= [9/25 – 16/25][3/5] – [12/25 + 12/25][4/5]
= [-7/25][3/5] – [24/25][4/5]
= [-21/125] – [96/125]
= – 117/125
