Memahami Bentuk Umum dan Contoh Soal SPLTV
Sistem persamaan liner tiga variabel atau SPLTV, merupakan salah satu materi pelajaran matematika yang akan dipelajari siswa. Sistem persamaan linear tiga variabel sendiri memilki pengertian sebagai persamaan dengan tiga variabel yang berpangkat satu dan terpisah satu sama lain.
SPLTV memiliki tiga ciri, yakni menggunakan relasi tanda sama dengan (=), memiliki tiga variabel, dan ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)
Untuk memahami lebih mendalam tentang materi matematika ini, simak ulasan lengkapnya dibawah ini.
Bentuk Umum SPLTV
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu juga merupakan bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)
Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dalam x, y, dan z dapat dituliskan berikut ini :
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = l
atau
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 adalah bilangan-bilangan real.
Hal-hal yang Berhubungan dengan SPLTV
Dilansir dari laman Akupintar, terdapat empat komponen dan unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), yaitu :
1. Suku
Suku merupakan bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku akan dipisahkan dengan tanda baca penjumlahannya ataupun pengurangannya.
Contoh :
6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku – suku dari persamaan tersebut yaitu = 6x , -y, 4z dan 7.
2. Variabel
Variabel merupakan peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dapat dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.
Contoh :
Doni memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :
Misal : apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu = 2x + 5y + 6z.
3. Koefisien
Koefisien merupakan suatu bilangan yang bisa menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien dapat juga disebut dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.
Contoh :
Risti memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika ditulis dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :
Misal : apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu = 2x + 5y + 6z. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2, 5 dan 6 merupakan koefisien di mana 2 adalah koefisien x , 5 adalah koefisien y dan 6 adalah koefisien z.
4. Konstanta
Konstanta merupakan suatu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel dan peubahnya.
Contoh :
2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta yaitu = 7, karena 7 nilainya adalah tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.
Contoh Soal SPLTV
Berikut dibawah ini lima contoh soal SPLTV dari berbagai sumber yang bisa dipelajari agar paham penerapan rumusnya yang baik dan benar.
Contoh Soal 1
Nilai p, yang memenuhi persamaan 4p + 3q = 20 dan 2p – q = 3 adalah…
Pembahasan :
4p + 3q = 20….(1)
2p – q = 3 ….(2)
Pilih salah satu persamaan misalnya persamaan (2), kemudian nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variable yang lain.
2p – q = 3
-q = 3 – 2p
q = 2p + 3 …(3)
Substitusi persamaan(3) pada persamaan(1)
4p + 3q = 20
4p + 3(2p + 3) = 20
4p + 6p + 9 = 20
10p = 20
p = 2
Contoh Soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
2x + 5y – 3z = 3
6x + 8y -5z = 7
-3x + 3y + 4y = 15
Pembahasan:
2x + 5y – 3z = 3 … (1)]
6x + 8y -5z = 7 … (2)
-3x + 3y + 4z = 15 … (3)
- Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (2):
2x + 5y – 3z = 3 |×5| ⇔ 10x + 25y – 15z = 15
6x + 8y -5z = 7 |×3| ⇔ 18x + 24y -15z = 21 –
-8x + y = -6 … (4)
- Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (3):
2x + 5y – 3z = 3 |×4| ⇔ 8x + 20y – 12z = 12
-3x + 3y + 4z = 15 |×3| ⇔-9x + 9y + 12z = 45 +
-x + 29y = 57 … (5)
- Eliminasikan variabel y menggunakan (4) dan (5):
-8x + y = -6 |×29| ⇔ -232x + 29y = -174
-x + 29y = 57 |×1| ⇔ -x + 29y = 57 –
-231x = -231
x = 1
- Substitusikan x ke (4):
-8x + y = -6
-8(1) + y = -6
-8 + y = -6
y = 8 – 6
y = 2
- Subsitusikan x dan y ke (1)
2x + 5y – 3z = 3
2(1) + 5(2) – 3z = 3
2 + 10 – 3z = 3
12 – 3z = 3
– 3z = 3 -12 = -9
z = -9/-3
z = 3
Himpunan penyelesaiannya adalah (1, 2, 3)
Contoh Soal 3
Diketahui x + 3y + 2z = 16, 2x + 4y – 2z = 12, dan x + y + 4z = 20.
Tentukan nilai x, y, z
Substitusi
x + y + 4z = 20
x = 20 – y – 4z
x + 3y + 2z = 16
(20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16
- Eliminasi
- Substitusi
Contoh Soal 4
- Eliminasi
- Substitusi
Contoh Soal 5
Tiga bersaudara Lia, Ria, dan, Via berbelanja di toko buah. Mereka membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai berikut:
- Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp47.000
- Ria membeli satu buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000
- Via membeli tiga buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000.
Berapa harga 1 buah Apel, 1 buah Jambu, dan 1 buah Mangga?
Pembahasan:
a = Harga 1 buah Apel
j = Harga 1 buah Jambu
m = Harga 1 buah Mangga
Maka, model matematikanya adalah
2a + j + m = 47.000 … (1)
a + 2j + m = 43.000 … (2)
3a + 2j + m = 71.000 … (3)
- Eliminasikan variabel j dan m menggunakan (2) dan (3):
a + 2j + m = 43.000
3a + 2j + m = 71.000 –
-2a = -28.000
a = 14.000
- Eliminasikan variabel m menggunakan (1) dan (2), dan substitusikan nilai a:
2a + j + m = 47.000
a + 2j + m = 43.000 –
a – j = 4.000
j = a – 4.000
j = 14.000 – 4.000
j = 10.000
- Substitusikan nilai a dan j ke (1):
2a + j + m = 47.000
2(14.000) + 10.000 + m = 47.000
28.000 + 10.000 + m = 47.000
38.000 + m = 47.000
m = 47.000 – 38.000
m = 9.000
Harga 1 buah Apel adalah Rp14.000, 1 buah Jambu adalah Rp10.000, dan 1 buah Mangga adalah Rp9.000.
