Mengenal Contoh Soal Persamaan Eksponen, serta Sifat dan Rumusnya

Persamaan eksponen adalah persamaan yang didalmnya ada pangkat atau bentuk eksponen yang memuat peubah x. Dalam matematika terdapat perkalian yang disederhanakan menggunakan pangkat. Bentuk eksponen bisa dinyatakan dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan.

Eksponen matematika ini bermanfaat untuk menghitung sensur penduduk. Pemerintah menggunakan data untuk menghitung jumlah penduduk di Indonesia setiap 10 tahun sekali. Dari sensus penduduk ini pemerintah bisa menghitung pertumbuhan jumlah penduduk beberapa tahun kedepan.

Mengutip dari Zenius.net, penemu persamaan eksponen adalah John Napier. John adalah tokoh yang mengembangkan notasi eksponensial seperti n^x. Menurutnya, jika setiap bilangan lebih sederhana bisa diubah ke bentuk eksponen.

Sifat-Sifat Eksponen

Eksponen adalah bentuk perkalian dari bilangan yang sama dilakukan berulang-ulang. Contohnya saja bilangan berpangkat. Contohnya 3 x 3 x 3 = 27 → 33 = 27. Persamaan eksponen merupakan materi matematika kelas 10.

Terdapat delapan sifat eksponen mendasar yang perlu dipelajar. Sifat eksponen dasar ini dapat dikembangkan untuk sifat persamaan eksponen lainnya. Berikut delapan sifat mendasar eksponen, mengutip dari Quipper.com.

• Jika a^(fx) = 1, maka f(x)=0 dengan a>0 dan a ≠ 1
• Jika a^f(x) = a^b, maka f(x)=b dengan a>0 dan a ≠ 1
• Jika a^f(x) = a^g(x), maka f(x)=g(x) dengan a>0 dan a ≠ 1
• Jika a^f(x) = b^f(x), maka f(x)=0 dengan a,b >0 dan a, b ≠ 1
• Jika a^f(x) = b^g(x), maka log a^(fx) =log ^bg(x), dengan a,b >0 dan a, b ≠ 1
• Jika f(x)g(x)= 1, terdapat tiga penyelesaian, yaitu:

f(x) =1
f(x) = -1, syarat g(x) genap
g(x) = 0, syarat f(x) ≠ 0

• Jika f^(x)h(x) = g^(x)h(x), terdapat tiga penyelesaian, yaitu:

f(x) = g(x)
f(x) = -g(x), syarat h(x) genap
h(x) = 0, syarat f(x),g(x) ≠ 0

• Jika f^(x)g(x) = f^(x)h(x), terdapat empat penyelesaian, yaitu:

g(x) = h(x).
f(x)=1
f(x) = -1, syarat g(x) dan h(x) genap/ganjil.
f(x) = 0, syarat g(x) dan h(x) positif.

Contoh Soal Eksponen

1. Tentukan 3^x+2 = 9^x-2!

Soal tersebut menggunakan persamaan Jika a(fx) = 1, maka f(x)=0 dengan a>0 dan a ≠ 1

Maka, 3^x+2 = 9^x-2

= 3^x+2 = (3²) ^x-2

= x + 2 = 2x -4

x = 6 

Jadi persamaan 3^x+2 = 9^x-2adalah x = 6 

2. Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen (x-2)^x2-2x = (x-2)^x+4

Berdasarkan persamaan eksponen di atas didapat dari 4 kondisi berikut.

• Solusi ke-1

x² = 2x = x + 4

x² - 3x - 4 = 0

(x - 4) (x + 1) = 0

x = 4 atau x = 1 

• Solusi ke 2

x - 2 = 1

x = 3

• Solusi ke 3

x - 2 = -1

x =1 Menguji x = 1 g (x) dan h (x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil

• Uji pangkat untuk ruas kiri

x2 = 2x = 12 - 2(1) = -1 (ganjil) 

• Uji pangkat untuk ruas kanan 

x + 4 = 1 + 4 = 5 (ganjil) 

Karena itu ganji, maka x = 1 merupakan penyelesaian

• Solusi ke-4

x-2 = 0

x = 2

• Uji pangkat ruas kiri menunjukkan bahwa: 

x2 = 2x = 22 - 2(2) = 0 

Oleh karena 0 bilangan positif, maka x = 2 bukan termasuk penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen di atas adalah -1, 1, 3, 4