Bagi kebanyakan siswa, matematika merupakan salah satu mata pelajaran tersulit. Hal ini dikarenakan ada banyak sekali rumus yang harus dihafalkan pada setiap materinya. Salah satunya, Adalah materi tentang dilatasi.
Dilansir dari Quipper Blog, dilatasi adalah perubahan titik suatu objek pada bidang geometri berdasarkan nilai faktor pengalinya. Pada transformasi jenis ini, ukuran bayangan bisa berbeda dengan ukuran bendanya. Hal tersebut bisa terjadi karena adanya faktor pengali.
Misalnya suatu objek diperbesar dengan faktor pengali = 2, maka bayangan objek tersebut memiliki ukuran dua kali ukuran objek mula-mula dan jarak bayangan terhadap titik pusatnya juga dua kali lebih jauh dari jarak objek dan titik pusat mula-mula.
Dalam praktiknya, terdapat rumus yang harus dihafalkan siswa ketika mempelajari dilatasi. Lantas, apa rumus yang digunakan dalam materi ini? Simak pembahasannya dibawah ini.
Rumus Dilatasi
Rumus dilatasi sebenarnya cukup mudah karena hanya perlu mengalikan angka pada x dan y dengan nilai K. Untuk lebih jelasnya, simak rumus dibawah ini.
(x, y) → (xˡ, yˡ) = (Kx, Ky)
Agar lebih paham bagaimana cara menggunakan rumus ini, simak contoh soal dibawah ini.
Terdapat sebuah segitiga dengantitik A berada di (2, 4), titik B berada di (2, 2), dan titik C berada di (4, 2). Segitiga tersebut akan mengalami pembesaran atau dilatasi sebesar dua kali lipatnya (K = 2).
Di mana letak titik-titiknya jika segitiga itu mengalami dilatasi dua kali lipat?
Pembahasan:
A (2, 4) → Aˡ (4, 8)
B (2, 2) → Bˡ (4, 4)
C (4, 2) → Cˡ (8, 4)
Semua angka baik x maupun y akan dikalikan dengan K = 2.
Berikut adalah visualisasi dari contoh tersebut.
Dilatasi
Rumus Dilatasi dengan Faktor Skala K dan Pusat (A, B)
Jika titik pusatnya tidak berada pada titik (0, 0) atau titik pusatnya berada di (A, B), maka rumus dilatasi yang digunakan yaitu:
K(x – a) = xˡ – a
xˡ = K(x – a) + a
K(y – b) = yˡ – b
yˡ = K(y – b) + b
(x, y) → (xˡ, yˡ) = (K(x – a) + a, K(y – b) + b)
Jadi, rumus faktor skala dilatasi dengan skala K dan pusat (A, B) adalah seperti yang tercantum di atas
Contoh Soal Dilatasi
Berikut ini sepuluh contoh soal tentang dilatasi dari berbagai sumber yang bisa dipelajari agar paham penerapan rumusnya yang baik dan benar.
x’ = 3x → x = 1/3 x’
y’ = 3y → y = 1/3 y’
Kemudian nilainya disubstitusikan ke persamaan y = x&³2; – 6x + 5, maka hasilnya menjadi:
1/3 y’ = (1/3 x’)&³2; – 6(1/3x’) + 5
1/3 y’ = (1/9 x’)&³2; – 2x’ + 5 (Semua ruas dikalikan dengan 3)
y’ = (1/3x’)&³2; – 6x’ + 15
Jadi persamaannya akan menjadi y = 1/3x2 – 6x +15
A (2,3) maka koordinat bayangannya adalah:
x’ = 3(2-1) + 1 = 4
y’ = 3(3-3)+3 = 3
Jadi, A’ (4,3)
B (7,1) maka koordinat bayangannya adalah:
x’ = 3(7-1) + 1 = 19
y’ = 3(1-3) + 3 = -3
Jadi, B’ (19, -3)
C (-2,-5) maka koordinat bayangannya adalah:
x’ = 3(-2-1) + 1 = -8
y’ = 3(-5-3) + 3 = -21
Jadi, C’ (-8, -21)
3. Suatu titik Q (6,3) mengalami dilatasi terhadap pusat (3, -5). Jika faktor pengalinya -1, tentukan koordinat akhir titik Q.
Pembahasan:
Untuk mencari koordinat akhir titik Q, gunakan persamaan berikut ini.
Jadi, koordinat akhir titik Q atau titik Q’ (-2, -6).
4. Suatu bangun persegi PQRS memiliki koordinat masing-masing seperti berikut.
- Titik P(2,-2)
- Titik Q(4,-2)
- Titik R(2, -4)
- Titik S(4,-4)
Bangun tersebut ditranslasikan terhadap titik pusat (0,0) dengan faktor pengali 3/2. Gambarkan dilatasi bangun persegi PQRS tersebut!
Pembahasan:
Pertama, Anda harus menentukan koordinat akhir masing-masing titik.
Titik P’
Dengan demikian, koordinat titik P’ = (3,-3).
Titik Q’
Dengan demikian, koordinat titik Q’ = (6,-3).
Titik R’
Dengan demikian, koordinat titik R’ = (3,-6).
Titik S’
Dengan demikian, koordinat titik R’ = (6, -6).
Jika kedua bangun digambarkan dalam koordinat Cartesius, diperoleh gambar seperti berikut.
5. Titik A yang berkoordinat (3, 9) mengalami dilatasi terhadap titik pusat (a, b) dengan faktor pengali 2, sehingga diperoleh koordinat akhir A’ (5, 16). Tentukan koordinat titik pusat dilatasinya!
Pembahasan:
Diketahui:
x = 3
y = 9
k = 2
x’ = 5
y’ = 16
Ditanya: (a, b) =…?
Jawab:
Untuk menentukan titik pusat dilatasinya, gunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat (a, b) seperti berikut.
Dari persamaan di atas, diperoleh:
5 = 6 – 2a + a
⇔ a = 1
16 = 18 – 2b + b
⇔ b = 2
Dengan demikian, diperoleh a = 1 dan b = 2.
Jadi, koordinat titik pusat (a, b) adalah (1, 2).
6. Titik A (1, 2) akan dilatasi sebesar tiga kali dengan pusat (-5, 1), tentukan letak titik Aˡ!
Pembahasan:
(x, y) → (xˡ, yˡ) = (K(x – a) + a, K(y – b) + b)
(1, 2) → (xˡ, yˡ) = (3(1 – (-5)) + (-5), 3(2 – 1) + 1)
(1, 2) → (xˡ, yˡ) = (13, 4)
10. Titik R(9, 5) akan didilatasikan dengan faktor skala 1221 terhadap titik pusat C(6, -1), menghasilkan titik R'.
Tentukan koordinat titik R' setelah dilatasi.
Pembahasan:
Langkah-langkah:
Rumus dilatasi:
x′=k⋅(x−p)+p
y′=k⋅(y−q)+q
Koordinat titik R: x=9 Dan y=5
Titik pusat C: p=6 dan q=−1.
Faktor skala dilatasi: k=21.
Terapkan rumus dilatasi untuk mencari koordinat titik bayangan R'.
Untuk koordinat x′:
x′=12⋅(9−6)+6
x′=12⋅3+6
x′=32+6
x′=7.5+6
x′=13.5
Untuk koordinat y′:
y′=12⋅(5−(−1))−1
y′=12⋅(5+1)−1
y′=12⋅6−1
y′=3−1
y′=2
Koordinat titik R' setelah dilatasi adalah R'(13.5, 2).
Itulah rangkuman informasi mengenai rumus dilatasi beserta contoh soalnya yang bisa dipelajari sebagai latihan.