Apa Itu Transformasi Geometri ? Ini Pengertian, Jenis, dan Contoh Soal

Freepik
Ilustrasi, matematika.
Penulis: Destiara Anggita Putri
Editor: Agung
21/11/2023, 12.27 WIB

Transformasi geometri merupakan salah satu ilmu matematika yang biasanya mulai dipelajari dari kelas 9 SMP sampai SMA kelas 11. Dalam praktiknya, siswa akan mempelajari perubahan letak atau bentuk suatu objek geometri sebagai akibat pergeseran, perputaran, perubahan skala, atau peregangan.

Suatu objek atau bangun geometri yang ditransformasikan akan mengalami perubahan letak atau perubahan bentuk.

Untuk memahami lebih jelas mengenai transformasi geometri, berikut dibawah ini pembahasan lengkapnya.

Apa Itu Transformasi Geometri (Pexels) 

Apa Itu Transformasi Geometri?

Berdasarkan KBBI, kata transformasi memiliki arti perubahan rupa yang bisa terjadi pada bentuk, fungsi, sifat, atau perubahan lainnya. Sedangkan kata geometri merupakan ilmu ukur dalam matematika yang digunakan untuk menjelaskan sifat dari garis, bidang, sudut, hingga ukuran ruang.

Jadi jika kedua kata tersebut disatukan, maka transformasi geometri adalah perubahan rupa dipandang dari garis, sudut, bidang, juga ruang.

Sementara itu, dikutip dari Explore Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI oleh Kamta Agus Sajaka dkk., transformasi geometeri adalah perubahan setiap koordinat titik (titik-titik dari suatu kurva atau bangun) menjadi koordinat lain pada bidang dengan aturan tertentu. 

Secara sederhana, transformasi geometri dapat dipahami sebagai suatu perubahan, karena adanya perpindahan, pergeseran, perputaran, perbesaran dan sebagainya.
 
Dalam kehidupan sehari-hari, pemanfaatan mengenai transformasi geometri ini diterapkan dalam desain arsitektur atau dalam pembuatan karya seni sepeti pola batik, anyaman bambu, mosaik (hiasan dinding).

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri terbagi menjadi empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi. Berikut dibawah ini pemaparan lengkap masing-masing jenisnya seperti yang dikutip dari laman Sampoerna Academy.

1. Translasi (Pergeseran)

Merupakan jenis transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.

Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan).

Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.

Rumus dari translasi itu sendiri adalah:

(x’,y’) = (a,b) + (x,y)

Keterangan:

x’, y’ = titik bayangan

x,y = titik asal

a,b = vektor translasi

2. Rotasi (Perputaran)

Rotasi merupakan sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar.

Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang.

Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing yang cara kerjanya nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tengah.

Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:

  • Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x – a + b)
  • Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b)
  • Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y – b + a, -x + a + b)
  • Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x)
  • Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y)
  • Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x) 

3. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan adalah perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi, yaitu:

  • Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin.
  • Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain.

Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika sedang bercermin.

Rumus umum dari refleksi antara lain:

  • Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)
  • Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)
  • Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)
  • Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)
  • Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)
  • Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k – y)
Apa Itu Transformasi Geometri (Pexels)



4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi merupakan transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi.

Titik dari dilatasi menentukan posisi dari dilatasi. Titik ini menjadi tempat pertemuan dari semua garis lurus yang menghubungkan antara titik dalam suatu bangunan ke titik hasil dilatasi.

Sedangkan faktor dilatasi adalah faktor perkalian dari suatu bangun yang sudah didilatasikan.

Contoh sederhana dari dilatasi adalah miniatur yang biasanya dibuat dalam bentuk mainan, seperti mobil-mobilan. Mainan ini merupakan pengecilan dari sebuah objek besar.

Contoh lainnya adalah ketika mencetak sebuah foto dengan ukuran-ukuran tertentu tetapi tidak mengubah bentuk dari foto tersebut, mulai dari 2×3, 3×4, sampai 4×6. 

Rumus umum dari dilatasi antara lain:

  • Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx, ky)
  • Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx = k(x-a) + a, (k(y-b) + b))

Contoh Soal Transformasi Geometri

Berikut ini adalah tiga contoh soal dari berbagai jenis transformasi geometris yang bisa dipelajari.

1. Persamaan peta kurva y = x&³2; - 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah …. 
 
Pembahasan:
 
Pencerminan terhadap sumbu x:
 
P(x,y) -> P (x,-y)
 
DIlatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 3:
 
[O,k] : P(x,y) -> P (kx, ky)
 
[O, 3k] : P(x,y) -> P (3x, 3y)
 
pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3:
 
P(x,y) -> P (x,-y) -> P’(3x, -3y)
 
x’ = 3x => x ⅓ x’
 
y’ = -3y => y = -⅓ y’
 
Substitusi pada persamaan y = x&³2; - 3x + 2 menjadi:
 
-⅓ y’ = (1/3x’)&³2; - 3.⅓ x’ + 2
 
= -⅓ y’ = 1/9 x’&³2; - x’ + 2 |x9|
 
= -3y’ = x’&³2; - 9 x’ + 18
 
= 3y‘ + x’&³2; - 9x’ + 18 = 0
 
= 3y + x&³2; - 9x = + 18 = 0 
 

2. Titik B (2, -1) didilatasi terhadap pusat (4, 2). Jika faktor pengalinya 2, tentukan koordinat akhir titik B!

Pembahasan:

Secara matematis, titik B dinyatakan sebagai berikut.

Titik koordinat B’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.

Jadi, koordinat B’ = (0, -4)

3. Titik A (2,4) akan didilatasikan sebesar tiga kali, dengan pusat yang berada di (-4,2), maka tentukanlah titik A

Pembahasan:

(x, y) = k(x-a) + a, K(y – b) + b

(2, 4) = 6(2 – (-4)) + (-4), 6(4 – 2) + 2

(2, 4) = (32, 14)

Maka letak titik A dari (2, 4) dengan dilatasi (-4,2) adalah (32, 14)

Itulah rangkuman informasi mengenai transformasi geometri mulai dari pengertian hingga contoh soalnya yang bisa dipelajari.