Memahami Rumus dan Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan khusus bilangan asli. Pembuktikan induksi matematika ini menghasilkan kesimpulan bersifat umum. Induksi matematika menggunakan pembuktian rumus atau metode.

Ada dua jenis penalaran yang dipakai pengantar induksi matematika. Mengutip dari Kelaspintar.id, dua jenis penalaran yaitu deduktif dan induktif. Penalaran deduktif adalah penalaran bersifat umum ke khusus. Sedangkan penalaran induktif yaitu jenis penalaran dari khusus ke umum.

Metode induksi matematika juga digunakan untuk membuktikan kebenaran hipotesis. Sifat kebenaran hipotesis ini berlaku umum jika terbukti benar untuk semua nilai. Berikut penjelasan tentang prinsip induksi matematika.

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika adalah metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu. Induksi matematika menggunakan metode baku untuk pembuktian di bidang matematika. Dalam buku Explore Matematika Jilid 2 kelas XI, prinsip induksi matematika digunakan untuk membuktikan rumus dengan bentuk tertentu.

Misalnya:

1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n (n + 1)

Rumus ini berlaku untuk setiap bilangan asli n. Untuk membuktikan rumus tersebut, harus diperiksa kebenaran rumus setiap bilangan asli n.

Misalnya P (n): 1 + 2 + 3 ... + n = 1/2 n (n + 1), maka harus dibuktikan bahwa

• P (1) benar
• P (1) benar berakibat P (2) benar
• P (2) benar berakibat P (3) benar
• P (3) benar berakibat P (4) benar
• Lakukan hal yang sama hingga n yang besar

Langkah pembuktian tersebut tidak efisien. Pembuktian rumus dengan induksi matematika lebih efisien dan menghemat waktu. Prinsip induksi matematika bertujuan membuktikan pernyataan matematika berupa barisan, ketidaksamaan, dan keterbagian.

Langkah pembuktian induksi matematika yaitu:

• Buktikan P(n) benar untuk n =1
• Misalnya P (n) benar untuk n = k maka buktikan bahwa P (n) benar untuk n = k + 1

Jika kedua langkah telah dibuktikan kebenarannya, maka dapat disimpulkan pernyataan benar untuk setiap n bilangan asli. Ada beberapa pernyataan yang berkaitan dengan bilangan asli yang bisa dibuktikan dengan induksi matematika.

Jadi, induksi matematika adalah sebuah pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli. Kesimpulannya ada dua cara untuk pembuktian induksi matematika yaitu:

• Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1
• Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku bilangan n, maka pernyataan juga berlaku untuk bilangan n + 1.

Contoh Induksi Matematika

Diketahui 1 + 2 + ... + n = n ( n + 1)/ 2

Untuk membutkikan pernyataan tersebut bilangan asli, caranya yaitu:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n 1. Jelas bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah 1( 1 + 1)/2 = 1. Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk n =1