Pengertian, Jenis, dan Contoh Soal Vektor Matematika

Pexels
Ilustrasi, contoh soal matematika.
Penulis: Destiara Anggita Putri
Editor: Agung
29/11/2023, 15.43 WIB

Pada matematika SMA, siswa akan mempelajari berbagai materi. Salah satunya materi vektor matematika dimana siswa akan mempelajari besaran yang mempunyai nilai besar dan arah.

Dalam kehidupan sehari-hari, ilmu matematika ini diterapkan dalam pembuatan grafis di software komputer dan GPS atau map. Bahkan, vektor juga banyak digunakan dalam bidang militer, teknik sipil, navigasi, dan lainnya. 

Agar lebih paham tentang materi ini, berikut di bawah ini penjelasan lengkapnya mulai dari pengertian hingga contoh soal dan pembahasannya yang bisa dipelajari.

Pengertian Vektor Matematika

Berdasarkan penjelasan dari emodul Kemdikbud Matematika Peminatan Kelas 10 karya Entis Sutisna, vektor merupakan besaran yang memiliki arah dan besar, yang umumnya dinyatakan dengan ruas garis berarah.

Dalam konsep matematika, vektor merupakan ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung. Sementara arahnya yaitu arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya.

Oleh karena itulah, vektor dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor dinyatakan oleh panjang ruas garis berarah, sedangkan arah vektor dinyatakan dari kemiringan ruas garis dan anak panahnya.

Dalam matematika, vektor bisa disajikan secara geometris dan aljabar. Vektor bisa dinyatakan sebagai segmen garis berarah, yang panjang segmennya menyatakan besar vektor, dan arah anak panah menyatakan arah vektor.


Foto: dok. Modul Kemdikbud Matematika Peminatan Kelas 10 oleh Entis Sutisna

Pada bidang koordinat, vektor yang digambarkan akan mempunyai komponen horisontal (gerakan ke kanan/kiri dan sejajar sumbu X) dan komponen vertikal (gerakan ke atas/bawah atau sejajar sumbu Y).


Foto: dok. Modul Kemdikbud Matematika Peminatan Kelas 10 oleh Entis Sutisna

Apabila diberikan komponen-komponen suatu vektor, vektor tersebut bisa digambar dan dapat ditentukan besarnya. 

Jenis-jenis Vektor Matematika

Dalam ilmu Matematika, vektor dibagi menjadi empat jenis, yaitu: 

1. Vektor Nol

Vektor nol merupakan vektor yang memiliki panjang nol dan tidak memiliki arah vektor yang jelas. Vektor ini berbeda dengan vektor lain di mana vektor ini tidak dapat dinormalisasi.

2. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang ujungnya berada di suatu titik koordinat tertentu dengan pangkal berada di titik koordinat (0, 0), sedangkan letak titik ujungnya berada di satu titik tertentu (selain titik O). Vektor posisi biasanya memuat vektor satuan i dan j.

3. Vektor Satuan

Vektor satuan merupakan vektor yang panjangnya satu satuan. Biasanya vektor satuan hanya digunakan untuk menunjukkan arah.
 
Suatu vektor dengan panjang sembarang dapat dibagi oleh panjang untuk mendapatkan vektor satuan. Hal ini dikenal sebagai "normalisasi" suatu vektor.
 
Vektor satuan juga dilambangkan dengan sebuah topi" di atas huruf "a" kecil.

4. Vektor Basis

Vektor basis merupakan suatu vektor yang panjangnya satu satuan, tetapi arahnya searah dengan sumbu koordinat.

Rumus Vektor Matematika 

Rumus panjang vektor adalah:

 Foto: dok. Modul Kemdikbud Matematika Peminatan Kelas 10 oleh Entis Sutisna
 

Contoh Soal Vektor Matematika dan Pembahasannya

Berikut ini sepuluh contoh soal vektor matematika serta pembahasannya yang bisa dipelajari agar lebih paham tentang materi ini.

1. Dua buah vektor masing masing F1 = 15 satuan dan F2 = 10 satuan. Mengapit sudut sebesar 60°. Tentukan besaran resultan vektor!

Pembahasan contoh soal vektor

Diketahui:

F1 = 15

F2 = 10

α = 60°

R = ….?

Sehingga

R = √15&³2; + 10&³2; + 2 . 15 . 10 . (0,5)

= √225 + 100 + 150 = √475

= √ 25.19

= 5 √19 satuan

2. Dua buah vektor gaya masing-masing 8N dan 4N saling mengapit sudut 120°. Berapakah resultan kedua vektor tersebut?

Pembahasan

Diketahui :

F1 = 8N

F2 = 4N

α = 120°

R = …. ?

Sehingga

R = √8&³2; + 4&³2; + 2 . 8 . 4 . cos 120°

= √8&³2; + 4&³2; + 2 . 8 . 4 . (-0,5) = √64 + 16 - 32

= √48

= √16.3

= 4 √3 Newton

3. Dua buah vektor gaya yang sama sama besar masing-masing vektor besarnya adalah 10 Newton. Jika sudut yang terbentuk antara kedua vektor tersebut adalah 60°, tentukan besar nilai resultan vektor. 

Jawaban: 

Jawaban Contoh Soal Vektor

Diketahui: 

F1 = 10 N 

F2 = 10 N

α   = 60°

Resultan vektor =... ?

Maka 

R = √10&³2; + 10&³2;+ 10 . 10 cos 60°

R = √10&³2; + 10&³2;+ 10 . 10 . 0,5

R= √300

= 10√3 Newton

4. Dua buah vektor kecepatan A dan B masing-masing besarnya adalah 40 m/s dan 20 m/s. Yang membentuk sudut sebesar 60°. Tentukan selisih kedua vektor tersebut. 

Pembahasan contoh soal vektor:

5. Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km. Kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km. Selanjutnya bergerak ke selatan sejauh 10 km. Tentukan besaran perpindahan mobil tersebut!

Pembahasan:


Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua vektor B, dan perpindahan ketiga vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.

Maka : 

√40&³2; + 10&³2; = 10√17 m

6. Jika diketahui vektor U dan V membentuk sudut 60 derajat. Jika besar U atau |U| = 2 dan besar V atau |V| = 5, maka tentukan besar nilai U(V + U)!
 
Jawaban:
 
Pertama-tama uraikan persamaan U(V + U).
 
U(V + U) = U.V + U2
 
Karena U.V = |U||V|cos 60 maka
 
U(V + U) = |U||V|cos 60 + U2
 
Sehingga di peroleh, U(V + U) = (2)(5)cos 60 + 22 = 10 x (1/2) + 4 = 9
 
7. Jika a = ti – 2j + hk dan b = (t +2)i + 2j + 3k dan a = – b maka tentukanlah besar vektor a dan b!
 
Jawaban:
 
Karena a = -b maka dapat kita tuliskan, ti – 2j + hk = -[(t +2)i + 2j + 3k]
ti – 2j + hk = -ti – 2i – 2j – 3k
 
Berdasarkan padanan koefisiennya setiap vektor satuan i, j dan k ruas kiri dan kanan.
 
t = -1 dan h = -3
 
sehingga,a = ti – 2j + hk = -i -2j -3k dan b = (t +2)i + 2j + 3k = i + 2j +3k
 
8. Sebuah benda bergerak dari titik M(1, 1) ke titik N(5, 7). Tentukan persamaan garis lintasan benda tersebut.
 
Kunci Jawaban:
 
Dengan menggunakan dua titik M dan N, dapat ditemukan persamaan garis lintasan dengan rumus y = mx + c. Menghitung m (gradien): m = (7 - 1) / (5 - 1) = 1.5. Kemudian, substitusi ke dalam persamaan y - y1 = m(x - x1), dengan (x1, y1) sebagai titik M, akan menghasilkan persamaan garis lintasan.
 
9. Diberikan vektor A = (4, -2) dan vektor B = (1, 3). Hitunglah hasil kali skalar dari kedua vektor tersebut.
Kunci Jawaban:
 
Hasil kali skalar A dan B: A • B = (4 * 1) + (-2 * 3) = 4 - 6 = -2.
 
10. Diberikan dua vektor A = (3, 5) dan B = (-2, 7). Tentukan hasil penjumlahan vektor A dan B serta hasil perkaliannya dengan skalar 2.
 
Jawaban:
 
Penjumlahan vektor A dan B: A + B = (3 + (-2), 5 + 7) = (1, 12).
Perkalian vektor A dengan skalar 2: 2A = 2(3, 5) = (6, 10).

Itulah rangkuman  mengenai vektor matematika mulai dari pengertian hingga contoh soal dan pembahasannya yang bisa dipelajari.