10 Contoh Soal Barisan Geometri Beserta Pembahasannya Secara Lengkap
Membuat ringkasan dengan AI Barisan geometri merupakan salah satu materi dalam mata pelajaran matematika. Barisan geometri adalah deret bilangan atau suku-suku yang memiliki perbedaan rasio yang konstan antara suku-suku berturut-turutnya.
Dalam barisan geometri, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut razionya. Barisan geometri memiliki beberapa sifat khas.
Salah satunya adalah bahwa perbedaan antara dua suku berturut-turutnya adalah konstan. Selain itu, jika razio (r) lebih besar dari 1, maka barisan ini disebut barisan geometri yang bertambah, sedangkan jika r antara 0 dan 1, maka barisan ini disebut barisan geometri yang berkurang.
Agar lebih paham, berikut contoh soal barisan geometri beserta pembahasannya secara lengkap.
Contoh Soal Barisan Geometri
Mengutip dari buku Mudah dan Aktif Belajar Matematika ditulis oleh Tri Dewi Listya, barisan geometri dapat dituliskan dalam bentuk seperti ini: a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^n. Di mana a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku dalam barisan.
Rumus umum untuk mencari suku ke-n dalam barisan geometri adalah sebagai berikut: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r), di mana Sn adalah suku ke-n, a adalah suku pertama, dan r adalah rasio. Sebagai catatan, simbol ^ adalah pangkat. Artinya jika ^ diikuti angka 3 maka artinya pangkat tiga.
Berikut contoh soal barisan geometri beserta pembahasannya secara lengkap:
1. Diberikan suatu barisan 3, 9, 27, 81... Diketahui barisan tersebut merupakan barisan geometri. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut.
Jawaban:
Seperti yang kita ketahui, barisan geometri memiliki rasio konstan antara dua suku berurutan. Oleh karena itu, kita cari rasio dari barisan tersebut lebih dulu.
r = u2/ u1 = 9/3
= 3
Setelah mengetahui bahwa rasio tersebut adalah 3 maka kita masukkan dalam rumus suku ke-n
U5 = 3 x 3 (5-1)
= 3 x 3(4)
= 3 x 81
= 243
Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri tersebut adalah 243
2. Diketahui barisan geometri 4, 12, 36, ........., tentukan suku kelima dan jumlah 4 suku pertama.
Jawaban:
Rasio r dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu r = 12/4 = 3 Maka, suku kelima dapat dihitung dengan a5 = a x r(5-1) = 4x34 = 324. Jumlah 4 suku pertama dapat dihitung dengan rumus S4 = ax(r4-1)/r-1, sehingga sehingga S4 = 4x(34 – 1)/3-1
3. Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama a = 5 dan suku kelima a5 = 80. Tentukan rasio r dan suku kedua a2.
Jawaban:
Dengan menggunakan rumus umum barisan geometri, kita dapat menentukan bahwa r = 4√a5/a = 4√80/5 = 2.. Suku kedua (a2) dapat dihitung dengan a2 = a x r(2-1) = 5 x 2 = 10.
4. Diberikan barisan geometri pecahan sebagai berikut : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,..... Tentukan suku ke-6 dalam barisan tersebut.
Jawaban:
Dalam barisan geometri dengan angka pecahan, kita juga dapat menggunakan rumus umum barisan geometri untuk mencari suku ke-n. Rumus tersebut tetap berlaku, hanya saja kita harus memahami bagaimana mengaplikasikannya pada angka pecahan.
Diketahui:
a1 = ½ dan a2 = 1/4
Maka rasio barisan tersebut adalah 1/4 : 1/2 = ½
Sekarang kita bisa menggunakan rumus ini untuk mencari suku ke-6 setelah mengetahui bahwa rasio barisan tersebut adalah 1/2.
U6 = 1/2 x (½ (6-1))
U6 = 1/2 x (½ (5))
U6 = 1/2 x 1/32
U6 = 1/64
Jadi, suku ke-6 dalam barisan geometri tersebut adalah 1/64
5. Tentukan suku kedelapan dari barisan geometri 1, 3, 9, 27......
Jawaban:
Diketahui suku pertama U1 = 1 dan suku kedua U2 = 3
Rasio: r = U2/U1 = 3/1 = 3
Rumus suku ke-N: Un = ar ^n-1
Sehingga U8 = 1 . 3^8-1 = 3^7 = 2187
Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri 2, 1, 1/2, 1/4......
6. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan geometri 2, 1, 1/2, 1/4....
Jawaban:
Diketahui:
Suku pertama: U1 = 2
Suku kedua: U2 = 1
Nilai rasio: r = U2/U1 = 1/2
Rumus suku ke-n: Un = ar^n-1
Dengen mensubstitusikan nilai a = 2 dan r = 1/2 ke Un = ar^n-1 maka diperoleh:
Un = 2 . (1/2)^n-1 = 2 . (1/2) . (1/2)^n-2 = (1/2) ^n-2
Jadi, suku ke-n barisan geometri adalah Un = (1/2)^n-2
7. Berikut adalah barisan bilangan geometri 2, 8, 32, ... Maka, tentukan:
A. Suku pertama dan rasionya
B. Rumus suku ke-n, dan
C. U5
Jawaban:
A. Suku pertama dan rasionya
Suku pertama a = 2
Rasio r = 8/2 = 32/8 = 4
B. Rumus suku ke-n
Un = a.r^(n-1)
Un = 2.4^(n-1)
U5
Un = 2.4^(n-1)
U5 = 2.4^(5-1)
U5 = 2.4^4
U5 = 2.256
U5 = 512
Jadi, nilai suku ke-5 dari barisan geometri di atas adalah 512.
8. Pada 2015, wabah flu burung menyerang Indonesia dan beberapa peternak ayam mengalami kerugian karena banyaknya ayam yang mati.
Setiap 20 hari, jumlah ayamnya berkurang menjadi setengah. Setelah dua bulan, jumlah ayam yang tersisa adalah 200 ekor. Hitunglah jumlah ayam sebelumnya yang dimiliki peternak tersebut!
Jawaban:
Un = 200
r = 1/2
n = 2 bulan / 20 hari = 60 hari / 20 hari = 3
Dengan menggunakan konsep barisan geometri, maka jumlah awal ayam pak Budi adalah
Un = a.r^(n-1)
U3 = a.(1/2)^(3-1)
200 = a.(1/2)^(2)
200 = a.(1/4)
200.4 = a
a = 800
Jadi, jumlah mula-mula ayam pak Budi adalah 800 ekor.
9. Dalam suatu barisan geometri, suku ketiga (a₃) adalah 24, dan suku kelima (a₅) adalah 192. Tentukan suku pertama (a₁) dan rasio (r) barisan ini!
Jawaban:
Untuk mencari suku pertama (a₁) dan rasio (r), bisa menggunakan informasi suku ketiga dan suku kelima. Pertama, hitung dulu rasio (r):
r = a₅ / a₃ = 192 / 24 = 8.
Kemudian, mencari suku pertama (a₁) dengan menggunakan rumus suku pertama dalam barisan geometri:
a₁ = a₃ / r = 24 / 8 = 3.
Jadi, suku pertama (a₁) adalah 3 dan rasio (r) adalah 8.
10. Diketahui suku pertama suatu barisan geometri adalah 5 dan rasionya adalah 1/2. Tentukan 3 suku pertama barisan tersebut.
Diketahui:
Suku pertama (a) = 5
Rasio (r) = 1/2
Jawaban:
Kita sudah mengetahui suku pertama. Untuk mencari suku-suku berikutnya, kita tinggal mengalikan suku sebelumnya dengan rasio.
Suku pertama: 5
Suku kedua: 5 * (1/2) = 2,5
Suku ketiga: 2,5 * (1/2) = 1,25
Jadi, tiga suku pertama barisan geometri tersebut adalah 5, 2,5, dan 1,25.
Demikian 10 contoh soal barisan geometri beserta pembahasannya secara lengkap.
