Contoh Soal Trigonometri untuk Siswa SMA

Trigonometri merupakan suatu sistem perhitungan yang berkaitan dengan panjang dan sudut pada segitiga. Kegunaan trigonometri banyak digunakan dalam berbagai disiplin ilmu, seperti astronomi, navigasi, di laut, udara, dan angkasa luar.

Kemudian, trigonometri digunakan pula dalam teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, dan biologi, serta pencitraan medis (CAT scan dan ultrasound).

Selain itu, konsep trigonometri berguna pula dalam ilmu farmasi, kimia, teori angka (termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi. Lalu, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, mekanik, sipil, komputer, kartografi, dan kristalografi.

Pengertian Trigonometri

Mengutip buku "Kamus Matematika: Istilah, Rumus, dan Perhitungan" yang ditulis Rohmat Kurnia, trigonometri diartikan sebagai studi tentang segitiga pada permukaan benda berbentuk bola, dan sisi busur yang memiliki lingkaran besar.

Singkatnya, trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang berkaitan tentang sudut segitiga. Istilah trigonometri sendiri berasal dari kata dalam bahasa Yunani yaitu trigonon artinya tiga sudut, dan metro yang artinya mengukur.

Mengutip buku "Dasar-Dasar Trigonometri" yang ditulis Nurmala R, disebutkan bahwa pada zaman dahulu, awalnya trigonometri merupakan bagian dari cabang ilmu astronomi. Kemudian, trigonometri akhirnya berdiri sebagai cabang ilmu yang mandiri.

Perkembangan trigonometri tidak bisa dilepaskan dari dengan penggunaan ilmu matematika terapan, dengan keperluan ilmu sains dan astronomi. Sejarah mencatat, lebih dari 3000 tahun silam, ilmu trigonometri ini sudah ada, dan dipakai oleh masyarakat Mesir Kuno, Babilonia, dan peradaban bangsa di lembah Indus. Seiring berjalannya waktu, trigonometri menjelma menjadi salah satu cabang dari ilmu matematika..

Konsep Dasar Trigonometri

Merangkum dari berbagai sumber, dijelaskan bahwa kesebangunan segitiga siku-siku menjadi konsep dasar dari trigonometri. Pada urainnya, sebagai bagun datar segitiga siku-siku ini punya sisi-sisi yang selaras (sebangun) dan memiliki perbandingan yang sama.

Kemudian dalam beberapa sumber pun menyebutkan, jika salah satu pembahasan dari trigonometri adalah perbandingan trigonometri sudut lancip, yang nantinya berkembang untuk sudut yang tidak lancip. Maksud dari sudut tidak lancip ini ialah sudut yang kurang dari 0° dan lebih dari 90°.

Dilansir dari buku Jelajahi Matematika Jilid 1 untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X, diungkapkan bahwa materi trigonometri akan membahas materi-materi tentang sudut dan perbandingan sisi segitiga yang diukur dengan derajat dan radian.

Selain itu pada materi perbandingan sisi segitiga, akan menghasilkan rasio trigonometri sudut istimewa, rasio trigonometri sudut di berbagai kuadran, dan rasio trigonometri di sudut berelasi.

Dari ketiga rasio trigonometri tersebut bakal diturunkan menjadi fungsi trigonometri, identitas trigonometri, dan rumus-rumus segitiga. Hingga grafik fungsi trigonometri.

Penjelasan di atas menunjukan bagaimana isi konsep trigonometri. Anda harus mengetahuinya agar lebih mudah saat mempelajari bagian-bagian yang ada dalam ilmu trigonometri.

Istilah Dasar Pada Rumus Trigonometri

Setelah memahami tentang definisi dan konsep trigonometri, maka Anda bisa melanjutkannya dengan menyimak simbol-simbol atau istilah-istilah pada rumus trigonometri.

Mengutip dari situs pmat.unimus.ac.id dan sumber lainnya, berikut daftar istilah dalam rumus trigonometri yang perlu diketahui.

• sinus (sin).
• cosinus (cos).
• tangen (tan).
• cotangen (cot).
• secan (sec).
• cosecan (cosec).

Dasar Rumus Trigonometri

• Sin = b/c. Maksudnya, sisi depan di bagian sisi miring.
• Cos = a/c. Maksudnya, sisi samping sisi miring.
• Tan = b/a. Maksudnya, sisi depan dibagian sisi samping.
• Dipan = a/b. Maksudnya, sisi samping sisi sisi depan (kebalikan dari tangen).
• Detik = c/a. Maksudnya, sisi miring di sisi samping (kebalikan dari cos).
• Cosec = c/b. Maksudnya, sisi miring di bagian depan (kebalikan dari sin).

Nilai-nilai yang dianggap jadi nilai sudut istimewa antara lain adalah 0°, 30° , 45° , 60° , dan 60°.

Pengukuran Sudut

Pengertian sudut dalam satu derajat

• 1° = 1/360 putaran.
• 1° = 60'
• 1 = 60" (detik)

Pengertian Sudut dalam Radian

Besar sudut dapat diketahui dari besaran yang dihasilkan oleh perputaran sebesar jari-jari lingkaran.

Hubungan ukuran derajat dengan ukuran radian

• 1° = π/180° rad.
• 1 rad = 180°/π.

Contoh Soal Trigonometri I

1. P dan Q adalah 2 titik di ujung jembatan yang jika dilihat dari titik R akan membentuk sudut PRQ sebesar 45o . Jika jarak RQ = x meter dan RP = 2x √2 meter, maka panjang jembatan tersebut adalah

Jawaban

Dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh

PQ2 = RQ2 + RP2 – 2RQ . RP Cos 45o

PQ2 = x2 + 8x2 – 2.2x√2 . x . ½ √2

PQ2 = 9x2 – 2x2

PQ2 = 5x2

PQ2 = x √5

Jadi, panjang jembatan PQ adalah x √5 meter.

Contoh Soal Trigonometri II

Diketahui segitiga XYZ memiliki besar sudut ZXY = 60o dan besar sudut XYZ = 45o. Diantara titik X dan Y, terdapat titik W sehingga membentuk sudut YZW = 30o. Jika panjang YW adalah √3 cm, berapakah panjang XW?

Jawaban

Pertama, cari nilai WZ

ZW / (sin ∠WYZ) = YW / (sin ∠YZW)

ZW / (sin 45o) = √3 / (sin 30o)

ZW / (½ √2) = √3 / (½)

ZW = (√3 . ½ . √2) / (½)

ZW = √6

Dengan cara yang sama, kita akan mencari nilai XW

XW / (sin ∠XZW) = ZW / (sin ∠ZXW)

XW / (sin 45o) = √6 / (sin 60o)

XW /( ½ √2) = √6 / (½ √3)

XW = (√6 . ½ . √2) / (½ √3)

XW = (√6 . √2) / √3

XW = (√6 . √2 . √3) / √3 . √3

XW = (√6 . √6) / 3

XW = 6 / 3

XW = 2

Jadi panjang XW adalah 2cm

Contoh Soal Trigonometri III

Apabila diketahui sin x cos y = 1/5 dan sin (x+y) = -1/5, dimana 0o ≤ x ≤ 180o dan 0o ≤ y ≤ 90o . Hitunglah nilai sin (x-y).

Jawaban

sin (x+y) = -1/5

sin x cos y + cos x sin y = -1/5

1/5 + cos x sin y = -1/5

cos x sin y = -2/5

sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y

sin (x-y) = 1/5 – (-2/5)

sin (x-y) = 3/5

Jadi, jawabannya adalah 3/5