Menilik Rumus Deret Geometri Tak Hingga Beserta Contoh Soalnya

Deret geomtetri tak hingga merupakan salah satu materi matematika oleh akan dipelajari siswa SMA. 

Berdasarkan penjelasan dari buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, deret geometri tak hingga merupakan suatu deret geometri yang memiliki suku berjumlah tak hingga. 

Meskipun deret ini memiliki suku mencapai tak hingga namun tidak semua deret geometri tak hingga dapat kita tentukan jumlahnya. Oleh karena itulah, diperlukan penggunaan rumus agar bisa mengetahui jumlahnya.

Lantas, apa rumus deret geometri tak hingga? Berikut dibawah ini pembahasannya.

Rumus Deret Geometri Tak Hingga

Secara matematis, rumus jumlah deret geometri tak hingga dapat ditulis sebagai berikut:

Meliaht contoh di atas, maka dapat diperoleh rumus deret geometri divergen adalah:

 

Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

 

Artinya, seluruh deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 akan mendapatkan hasil ± ∞.

2. Rumus Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret geometri konvergen merupakan deret geometri tak hingga yang memiliki rentang antara –1 < r <

 

Artinya, deret geometri ini memiliki limit. Sehingga, nilai rasio akan semakin kecil dan mendekati nol.

 

Jika n = ∞ hasil r^n = 0. Maka, rumus deret geometri konvergen dapat diperoleh menjadi:

  

Rumus deret geometri tak hingga. Foto: Buku Mahir Matematika 3 terbitan Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga

Berikut ini 15 contoh soal deret geometri tak hingga dan pembahasannya dari berbagai sumber yang bisa dipelajari agar paham penggunaan rumusnya.

Contoh Soal 1

Tentukan jumlah deret tak hingga dari 16 + 8 + 4 + 2 + ......

Jawab

16 + 8 + 4 + 2 + ......
a = 16
r = 12

merupakan deret konvergen

S∞=a1−r

S∞=161−12

S∞=1612

S∞=32

Contoh Soal 2

Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya adalah 13, nilai suku pertamanya adalah ...

Jawab
S∞=12

r = 13

a1−13=12

a23=12

a=12×23

a=8

Contoh Soal 3

Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya adalah 8, maka rasionya adalah ...
Jawab
S∞=24

a = 8
81−r=24

8=24−24r

−16=−24r

24r=16

r=1624

r=23

Contoh Soal 4

Tentukan nilai x agar deret geometri (x - 2) + (x -2)2 + (x - 2)3
+ .... merupakan deret konvergen!

Jawab

1 + (x - 2) + (x -2)2
+ (x - 2)3
+ ....
r = x - 2

Syarat konvergen -1< r < 1

-1 < x - 2< 1
-1 + 2 < x < 1+2
1 < x < 3

Contoh Soal 5

Jika suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 6, maka nilai a yang memenuhi deret geometri tersebut adalah ....
Jawab
S∞=6

a1−r=6

a=6−6r

a−6=−6r

r=a−6−6

r=6−a6

Karena memiliki jumlah maka r bernilai -1 < r < 1

−1<6−a6<1

−6<6−a<6

−12<−a<0

12>a>0
(dikali -1 maka tanda dibalik)
0

Contoh Soal 6

Berapakah hasil deret geometri berikut ini?
2 + 2/3 + 2/9 + ...

Penyelesaian:

a = 2 dan r = 1/3. Artinya, r berada dalam rentang -1 < r < 1, sehingga kita menggunakan rumus deret geometri konvergen.

S∞ = a / (1 - r)
S∞ = 2 / (1 - (1/3))
S∞ = 3

Jadi, hasil deret geometri tak hingga adalah 3.

Rumus Deret Geometri Tak Hingga (Freepik)

Contoh Soal 7

Hitunglah deret geometri di bawah ini!

1, -2, 4, -8, ....

Penyelesaian:

a = 1 dan r = -2. Artinya r < -1, maka r^n = –∞.
S∞ = (a/(1+2)) - ((a-∞)/(1+2))
S∞ = (a/3) - (-∞/3)
S∞ = (a/3) - (-∞)
S∞ = ∞

Jadi, hasil deret geometri tersebetu adalah ∞.

Contoh Soal 8

Tentukan jumlah deret tak hingga dari 81 + 27 + 9 + 3 + …

Alternatif penyelesaian:

Deret tak hingga di atas merupakan deret tak hingga konvergen, karena r = masuk dalam rentang -1 < r < 1, maka jumlah deret tak hingga adalah:

S∞ = a / 1 – r

= 81 / 1 – 1/3

= 81/ 2/3

= 81 ∙ 3/2

S∞ = 243/2

Contoh Soal 9

Diketahui deret geometri tak terhingga 2 + 1 + ½ + ... . Tentukan jumlah deret geometri tersebut.
Diketahui= U1 = 2, U2 = 1, U3 = ½, sehingga

Rasio =

r = U2/U1 = ½

Sehingga, rasio deret tak terhingga dari 2 + 1 + ½ + ... adalah ½.

Jumlah deret geometri tak terhinga.

S∞ = a/(1-r)

= 2/1-1/2

= 2/1/2

= 2 x 2 / 1

= 4

Jadi, jumlah deret geometri tak terhinga adalah 4.

Contoh Soal 10

Hitunglah jumlah deret tak terhingga berikut.
1 + ½ + ¼ + ...
Jawab
a = 1, r = ½ sehingga S∞ dari deret tersebut adalah:

S∞ = a / 1 -r

= 1/ 1 – ½

= 1 / ½

= 2

Jadi, jumlah deret geometri tak terhingga adalah 2.

Contoh Soal 11

Jumlah deret tak terhingga √2 + 1 + ½√2 + ½ + ... adalah ...
Jawab
√2 + 1 + ½√2 + ½ + ...

S∞ = a / 1 -r

= √2/1 - √2/2

= √2/1 - √2/2 dikali 2/2

= 2√2/2 - √2 dikali sekawan

= 2√2 x 2 + √2 / 2 - √2 x 2 + √2

= 2√2(2+√2) / 4 – 2

= √2(2+√2)

= 2(√2+1)

Contoh Soal 12

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 3 + 6 + 12 + 24 + ...

Jawab

3 + 6 + 12 + 24 + ...
a = 3
r = 2

Karena nilai r > 1, maka deret ini merupakan deret divergen yang jumlah tak hingganya adalah ∞

Contoh Soal 13

Jika jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 32 dan jumlah semua suku genapnya adalah 18, maka rasio dari deret geometri tersebut adalah ...

Jawab

S∞
= 32

S∞genap
= 14

S∞ganjil
=32 - 14 = 18

r=S∞genapS∞ganjil

r=1418

r=79

Contoh Soal 14

Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang ganjil adalah 64, suku ke-3 deret tersebut adalah...

Jawab

S∞
= 96

S∞ ganjil
= 64

S∞ genap
= 96 - 64 = 32

r=S∞ genap S∞ ganjil

r=3264
r=12

S∞=96

a1−12=96

a12=96

a=96×12

a=48

Un=arn−1

U3=48(12)3−1

U3=48(14)

U3=12

Contoh Soal 15

Jumlah deret geometri tak terhingga adalah 15 dan suku pertama adalah 6. Berapakah rasio dari deret geometri tak terhingga tersebut?

Pembahasan dan jawaban:

Suku pertama

a = U₁ = 6

Jumlah tak berhingga

S∞ = a / (1 - r)
⇔ S∞ = 15
⇔ 15 = a / (1 - r)
⇔ 15 = 6 / (1 - r)

Itulah rangkuman informasi mengenai rumus deret geometri tak hingga dan contoh soalnya yang bisa dipelajari.