Limit Fungsi Trigonometri, Pengertian, Manfaat, dan Contoh Soalnya

Salah satu materi dalam pelajaran matematika jenjang sekolah menengah adalah limit fungsi trigonometri. Oleh sebab itu, setiap siswa wajib memahami pengertian, manfaat, rumus, hingga contoh soal limit fungsi trigonometri.

Limit fungsi trigonometri tidaklah sulit untuk dipelajari. Pasalnya, dengan memahami seluruh aspek di atas, proses dalam memahami limit fungsi trigonometri pun dapat dilakukan dengan efektif dan efisien.

Dalam memahami limit fungsi trigonometri, pada pokoknya hanya diperlukan latihan yang cukup konsisten. Hal ini bertujuan agar siswa terbiasa menghadapi soal-soal yang berkaitan dengan materi tersebut.

Pengertian Limit Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri merupakan nilai yang diperoleh dari suatu fungsi trigonometri jika variabelnya mendekati nilai tertentu. Limit tersebut juga kerap disebut dengan limit Matematika.

Singkatnya, limit fungsi trigonometri merupakan nilai terdekat suatu sudut di fungsi trigonometri. Cara menghitungnya mirip seperti limit fungsi aljabar. Perbedaannya yakni fungsi trigonometri wajib diubah terlebih dahulu ke trigonometri agar dapat melihat limit tak tentunya.

Fungsi Trigonometri yang Kerap Digunakan

Terdapat 3 fungsi trigonometri yang kerap digunakan secara umum. Berikut ini penjelasan masing-masing fungsi tersebut:

1. Sinus

Fungsi trigonometri sinus adalah berupa perbandingan sisi depan dengan sisi miring sudut segitiga. Fungsi ini dipakai saat sudut segitiga berupa siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat.

Nilai sinus positif ada pada kuadran I dan II. Nilai negatifnya berada di kuadran III dan IV.

2. Cosinus

Fungsi trigonometri cosinus ini merupakan perbandingan sisi segitiga di sudut dengan sisi miring. Perbandingan ini digunakan ketika segitiga adalah segitiga siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat.

Nilai positifnya cosinus berada di kuadran I dan IV. Sedangkan nilai negatifnya terdapat padai kuadran II dan III.

3. Tangen

Fungsi trigonometri tangen ini berupa perbandingan sisi segitiga di depan sudut, dengan di bagian sudut segitiga. Perbandingan ini digunakan jika segitiga adalah segitiga siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat.

Nilai positifnya berada di kuadran I dan III. Sementara itu, nilai negatifnya ada di kuadran II dan IV.

Manfaat Limit Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri memiliki manfaat dalam kehidupan sehari-hari. Berikut ini manfaat-manfaat tersebut beserta penjelasannya.

1. Menentukan Batas Integral

Manfaat limit fungsi trigonometri yang pertama adalah untuk menentukan batas integral sebuah fungsi. Artinya, penentuan pun akan menjadi lebih akurat dan tepat.

2. Penyelesaian Persamaan Diferensial

Manfaat lainnya yakni terkait penyelesaian persamaan diferensial. Limit ini dapat digunakan menyelesaikan persamaan matematika yang menjelaskan perubahan fungsi terhadap waktu maupun variabel lain.

3. Pemahaman Sifat Suatu Fungsi

Selain itu, terdapat manfaat lain berupa memahami sifat sebuah fungsi trigonometri. Nantinya, dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut terbatas atau tidak terbatas, berubah atau tidak berubah pada nilai tertentu, dan lain sebagainya.

4. Penghitungan Lebih Akurat

Manfaat limit fungsi trigonometri yang berikutnya adalah membantu penghitungan menjadi lebih akurat. Hal tersebut terjadi khususnya pada nilai yang sangat dekat dengan batas tertentu.

5. Kacamata untuk Penggunaan Sehari-Hari

Limit fungsi trigonometri juga berpengaruh terhadap kacamata yang digunakan oleh orang-orang dengan kemampuan penglihatan tertentu. Kacamata lensa cekung yang digunakan itu memanfaatkan limit fungsi trigonometri.

Pasalnya, limit fungsi trigonometri digunakan untuk menghitung besar jarak dari pusat optik atau lensa cekung ke titik fokus utama. oleh sebab itu, penghitungan jarak lensa lebih mudah dan orang dengan rabun jauh pun dapat melihat dengan lebih jelas.

Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Berikutnya, perlu diketahui juga rumus limit fungsi trigonometri untuk mengerjakan beragam soalnya. Berikut ini rumus-rumus yang kerap digunakan:

• Limit sin x yakni saat x mendekati 0 adalah 0, rumus tersebut dapat dituliskan yakni sebagai berikut: lim sin x = 0, x -> 0
• Limit cos x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah 0, rumus tersebut dapat dituliskan yakni sebagai berikut: lim cos x = 0, x -> 90
• Limit tan x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni sebagai berikut: lim tan x = ∞, x -> 90
• Limit cot x yakni saat x mendekati 0 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni sebagai berikut: lim cot x = ∞, x -> 0
• Limit sec x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni sebagai berikut: lim sec x = ∞, x -> 90
• Limit csc x yakni saat x mendekati 0 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni sebagai berikut: lim csc x = ∞, x -> 0
  
  Rumus limit fungsi trigonometri tersebut hanyalah berlaku untuk nilai x yang mendekati batas tertentu. Kemudian jika nilai x tidak mendekati batas tertentu, nilai limit pun dapat berbeda.

Contoh dan Penghitungan Limit Fungsi Trigonometri

Adapun contoh soal sederhana yang dapat menjadi salah satu cara memahami limit fungsi trigonometri. Berikut ini contoh soal beserta pembahasannya.
Hitung Limit sin x ketika x mendekati nilai 30 derajat!

Jawab:

• Langkah ke-1

Gunakan rumus sin x = 2 sin (x/2) cos (x/2)
lim sin x = lim [2 sin (x/2) cos (x/2)]
= 2 lim [sin (x/2)] lim [cos (x/2)]

Diketahui limit sin (x/2) ketika x/2 mendekati 0 adalah 0,
Oleh karena itu, limit sin x = 2 * 0 * lim [cos (x/2)]

• Langkah ke-2

Hitung limit cos (x/2) ketika x/2 mendekati 0
Gunakan rumus:
cos2 (x/2) + sin2 (x/2) = 1 untuk menghitung limit cos (x/2).

Apabila x/2 mendekati 0, maka sin (x/2) juga mendekati 0,
Oleh karena itu, cos2 (x/2) + sin2 (x/2) = cos2 (x/2) + 0 = cos2 (x/2)

• Jawaban

limit cos (x/2) = √(cos2 (x/2)) = √(1) = 1
limit sin x = 2 * 0 * 1 = 0

limit sin x ketika x mendekati 30 derajat adalah 0