8 Contoh Soal SPLDV untuk Masing-Masing Metode sebagai Bahan Belajar

Pexels
Ilustrasi, mengerjakan soal matematika.
Penulis: Destiara Anggita Putri
Editor: Agung
30/10/2023, 11.57 WIB

Dalam mata pelajaran matematika SMA, siswa akan mempelajari sistem persamaan linear dua variabel atau SPLDV. Dikutip dari laman Zenius, SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear (PLDV), yang masing-masing bervariabel dua, misalnya variabel x dan variabel y.

SPLDV memiliki empat ciri, yakni terdiri dari 2 variabel, hanya memiliki derajat satu atau berpangkat satu, menggunakan relasi tanda sama dengan (=), dan tidak terdapat perkalian variabel dalam setiap persamaannya.

Secara umum,  SPLDV dituliskan dengan bentuk ax + by = c, dimana 'x' dan 'y' adalah variabel dengan peringkat satu, 'a' dan 'b' adalah koefisien, serta 'c' adalah konstanta.

Dalam kehidupan sehari-hari, SPLDV memiliki banyak fungsi antara lain menghitung keuntungan atau laba, mencari harga dasar atau harga pokok suatu barang, dan membandingkan harga barang.

Untuk memahami lebih mendalam tentang materi matematika, simak ulasan lengkapnya dibawah ini.

Metode Penyelesaian SPLDV

Dikutip dari buku Be Smart Matematika, Slamet Riyadi, (57), terdapat empat metode yang bisa digunakan untuk siswa menyelesaikan soal SPLDV dengan mudah. Adapun keempat metode tersebut, yaitu:
Contoh Soal SPLDV (Pexels)

1. Metode Grafik

Metode pertama yaitu metode grafik dimana dalam penyelesaian soal SPLV diperlukan grafik terlebih dahulu untuk menentukan letak titik variabel. Untuk variabel x, digambarkan dengan grafik mendatar, sedangkan variabel y digambarkan dengan grafik tegak.

2. Metode Substitusi

Merupakan metode yang dilakukan dengan memasukkan salah satu variabel ke variabel lain

Contoh penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut.
 
X + 2y = 4 ......(1)
X + y = 3 => y = 3 – x .....(2)

Substitusikan persamaan dua ke persamaan pertama

X + 2 (3-x) = 4
X + 6 – 2 x = 4
-x = 4 – 6
-x = -2
X = 2

Substitusikan x = 2 ke persamaan 2 maka y = 3 – 2 = 1
 
Himpunan penyelesaiannya adalah { (2,1) }

3. Metode Eliminasi

Merupakan metode dimana terdapat proses menghilangkan variabel tertentu untuk mendapatkan nilai dari variabel yang lain.
 
X + 2y = 4
X + y = 3
------------ -
Y = 1
 
X + 2y = 4 ( x1) x + 2y = 4
X + y = 3 ( x2 ) 2x + 2y = 6
------------------------------------ -
-x = - 2
X = 2
 
Himpunan penyelesaiannya adalah [ {2,1}]

4. Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi

Terakhir adalah metode gabungan eliminasi dan substitusi yaitu sebagai berikut.
 
X + 2y = 4
X + y = 3
------------ -
Y = 1
 
Substitusikan y = 1 ke persamaan 2 maka
 
x + 1 = 3
x = 3 – 1 = 2
 
Himpunan penyelesaiannya adalah [ {2,1} ]

Contoh Soal SPLDV

Berikut dibawah ini 10 contoh soal SPLDV untuk masing-masing metode yang bisa dipelajari agar paham penerapan rumusnya yang baik dan benar.

Contoh Soal SPLDV (Pexels)

1. Metode Grafik

1. Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan
 
2x - y = 0
 
x + y = 3
 
Dengan menggunakan metode grafik!
 
Penyelesaian:
 
  • Garis 2x – y = 0
Titik potong sumbu X → y = 0
 
2x – y = 0
 
2x – 0 = 0
 
2x = 0
 
x = 0
 
Berarti titik potong sumbu X adalah (0,0)
 
Lalu titik potong sumbu Y → x = 0
 
2x – y = 0
 
2(0) – y = 0
 
0 – y = 0
 
y = 0
 
Berarti titik potong sumbu Y juga (0,0).
 
Jika dilihat dari titik potong pada kedua sumbu jatuh pada (0,0). Maka, tidak mungkin sumbu dari keduanya adalah titik (0,0). Oleh karena itu, ambil x = 1 lalu cari nilai y dengan masukkin nilai x = 1 ke persamaan 2x – y = 0.
 
2x – y = 0
 
2(1) – y = 0
 
Kemudian, pindahkan y ke ruas kanan, maka 2 = y
 
Dengan begitu, garis melalui titik (1, 2). Lalu, hubungkan titik (0, 0) dan titik (1, 2).
 
  • Garis x + y = 3
Titik potong sumbu X → y = 0
 
x + y = 3
 
x + 0 = 3
 
x = 3
 
Maka titik potong sumbu X adalah (3, 0)
 
Titik potong sumbu Y → x = 0
 
x + y = 3
 
0 + y = 3
 
y = 3
 
Maka titik potong sumbu Y adalah (0, 3)
 
Sumber foto: Zenius

2. Metode Substitusi

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30.
 
Penyelesaian
 
Diketahui:
 
  • Persamaan pertama = z + 3y = 15
  • Persamaan kedua = 3x + 6y = 30
  • Langkah pertama: ubah salah satu persamaan dan cari yang termudah. x + 3y = 15 → x = -3y + 15
  • Langkah kedua: substitusi nilai x = -3y + 15 ke persamaan kedua untuk mencari nilai y.
    3x + 6y = 30
    3 (-3y + 15) + 6y = 30
    -9y + 45 + 6y = 30
    -3y = 30 - 45
    -3y = -15
    y = 5
  • Langkah ketiga: mencari nilai x dengan menggunakan salah satu persamaan. Misalnya dari persamaan pertama.
    x + 3y = 15
    x + 3 (5) = 15
    x + 15 = 15
    x = 0
  • Langkah keempat: maka, nilai jadi HP = {0, 5}
2. Tentukan penyelesaian dari persamaan 3x + 5y = 16 dan 4x + y = 10. Jika x = a dan y = b, maka tentukan nilai a dan b!
 
Penyelesaian
 
Diketahui:
 
  • Persamaan pertama = 3x + 5y = 16
  • Persamaan kedua = 4x + y = 10
  • Langkah pertama: ubah salah satu persamaan dan cari yang termudah. 4x + y = 10 → y = -4x + 10
  • Langkah kedua: substitusi nilai 4x + y = 10 ke persamaan pertama untuk mencari nilai x.
    3x + 5y = 16
    3x + 5 (-4x + 10) = 16
    3x - 20x + 50 = 16
    -17x = 16 - 50
    -17x = -34
    x = 2
  • Langkah ketiga: mencari nilai y dengan menggunakan salah satu persamaan. Misalnya dari persamaan pertama.
    3x + 5y = 16
    3 (2) + 5y = 16
    6 + 5y = 16
    5y = 16 - 6
    5y = 10
    y = 2
  • Langkah keempat: didapatkan nilai x = 2 dan nilai y = 2. Karena ditanyakan nilai a dan b, dimana x = a dan y = b, maka
    x = a = 2
    y = b = 2

3. Metode Eliminasi

1. Tentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut

x + 2y = 20

2x + 3y = 33

Dengan menggunakan metode eliminasi!

Jawaban:

Pertama, cari nilai variabel x dengan cara menghilangkan y pada masing-masing persamaan.

x + 2y = 20

2x + 3y = 33

Koefisien pada variabel y dari masing-masing persamaan tersebut adalah 2 dan 3.

Selanjutnya kita cari KPK (kelipatan persekutuan terkecil) dari 2 dan 3.

2 = 2, 4, 6, 8, …

3 = 3, 6, 8, …

Setelah tahu KPK dari 2 dan 3 adalah 6, kita bagi 6 dengan masing masing koefisien.

6 : 2 = 3 → x3

6 : 3 = 2 → x2

Kemudian, kalikan dan lakukan eliminasi dengan menggunakan hasil pembagian masing-masing tadi

x + 2y = 20       | x3

2x + 3y = 33 _   | x2

Maka menghasilkan:

3x + 6y = 60

4x + 6y = 66 _

-x          = -6

 x          =   6

 
 
 

2. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini:

3x + 2y = 10

9x – 7y = 43

Jawaban:
 
Langkah 1, nyatakan ke dalam variabel y :

3x + 2y = 10

 

y = 1/2 (10 - 3x)

y = 5 - 3x/2

Langkah 2, subsitusikan nilai y dan temukan nilai x

9x – 7y = 43

9x - 7(5 - 3x/2) = 43

9x - 35 + 21x/2 = 43 (persamaan dikalikan 2 untuk menghilangkan pecahan)

18x - 70 + 21x = 86

39x - 70 = 86

39x = 156

x = 4

Langkah 3, subsitusikan nilai x ke dalam persamaan

x = 4 ↔ y = 5 - 3x/2

y = 5 - 3(4)/2

y = 5 - 12/2

y = 5 - 6

y = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 4 , -1 }

4. Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi

1. 2x + y = 15 dan x + 3y = 5

Jawaban

2x + y = 15 | x1 | 2x + y = 15

x + 3y = 5 | x2 | 2x + y = 10

2x + y = 15

2x + y = 10 –

-5y = 5

y = -1


2. Diketahui sistem persamaan berikut 3x + 3y = 3 dan 2x - 4y = 14. Cari nilai dari 4x – 3y = …

Jawaban

3x + 3y = 3 | x2 | 6x + 6y = 6

2x - 4y = 14 | x3 | 26 - 12y = 42

6x + 6y = 6

26 - 12y = 42 -

18y = -36

y = -2

Untuk mengetahui nilai x, maka subtitusikan ke salah satu persamaan:

3x + 3y = 3

3x + 3(-2) = 3

3x - 6 = 3

3x = 9

x= 3

Terakhir, untuk mencari 4x – 3y adalah sebagai berikut

4(3) - 3(-2) =

12 + 6 = 18

 

3. Diketahui sistem persamaan berikut 3x + 2y = 8 dan x - 5y = -37, tentukan nilai y!

3x + 2y = 8 | x1 | 3x + 2y = 8

x - 5y = -37 | x3 | 3x + 2y = 8

3x + 2y = 8

3x + 2y = 8 -

17y = 119

y = 7

Demikian pembahasan mengenai delapan contoh soal SPLDV untuk keempat metode di atas lengkap dengan pembahasannya yang bisa dijadikan bahan belajar.