Menilik Bentuk Umum dan Metode Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan liner tiga variabel (SPLTV) merupakan salah satu materi yang ada dalam mata pelajaran matematika. Sistem persamaan linear tiga variabel sendiri memilki pengertian sebagai sistem persamaan yang memiliki tiga variabel dimana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel yang berpangkat satu

Untuk lebih jelasnya, berikut ini konsep sistem persamaan linear tiga variabel

ax + by + cz = d

Keterangan:

• x, y, z adalah variabel
• a adalah koefisien variabel x
• b adalah koefisien variabel y
• c adalah koefisien variabel z
• d adalah konstanta
• Dengan catatan : a, b, c adalah bilangan real dan a>0, b>0, c>0

Dari konsep diatas, bisa disimpulkan bahwa persamaan linear tiga variabel merupakan suatu persamaan aljabar yang terdiri atas tiga variabel dimana tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal.. 

Berdasarkan konsep di atas, ketiga variabel tersebut adalah x,y, dan z. 

Bentuk Umum SPLTV 

Terdapat tiga bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel yaitu

Dari ketiga bentuk di atas, Anda hanya akan mendapat satu penyelesaian untuk setiap variabelnya, yaitu x,y, dan z.

Metode SPLTV

Dilansir dari laman resmi Quipper Blog, terdapat tiga metode sistem persamaan linear tiga variabel yaitu metode eliminasi, substitusi, dan gabungan. Berikut pembahasannya dibawah ini. 

1. Metode Eliminasi

Merupakan metode yang dilakukan dengan cara menghapus atau menghilangkan salah satu variabel di persamaan tersebut. Untuk lebih jelasnya, berikut ini langkah-langkah penyelesaian metode eliminasi 

• Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dengan menyamakan konstanta variabel yang ingin dieliminasi.
• Setelah terbentuk SPLDV, lakukan langkah eliminasi yang sama dengan poin (a) sampai diperoleh nilai salah satu variabel.
• Lakukan langkah yang sama sampai semua variabel diketahui.

Berikut ini contoh soal yang bisa dipelajari agar lebih paham cara menggunakan metode ini

Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut.

Pembahasan:

Buatlah penomoran seperti pada metode sebelumnya.

Lakukan eliminasi antara persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel y.

Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan (2) dan (3).

Lakukan eliminasi persamaan (4) dan (5) untuk mencari nilai x.

Lakukan eliminasi persamaan (4) dan (5) untuk mencari nilai z.

Setelah nilai x dan z diketahui, ulangi langkah eliminasi untuk menentukan nilai y.

Lakukan eliminasi antara persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel z.

Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan (2) dan (3).

Lakukan eliminasi persamaan (6) dan (7) untuk mencari nilai y.

Jadi, nilai x, y, z yang memenuhi adalah -1, 3, 1.

2. Metode Substitusi

Merupakan metode yang dilakukan dengan mengubah satu variabel menggunakan variabel dari persamaan lain. berikut ini langkah-langkah penyelesaian metode substitusi

• Memilih persamaan yang paling sederhana untuk menyatakan salah satu variabel ke dalam bentuk fungsi variabel lainnya, misal variabel x ke dalam fungsi y dan z, atau variabel y ke dalam fungsi x dan z, atau variabel z ke dalam fungsi x dan y.
• Bentuk fungsi yang diperoleh pada poin (a) disubstitusikan ke dua persamaan lainnya, sehingga berubah menjadi sistem persamaan linear dua variabel.
• Lakukan langkah penyelesaian yang sama setelah terbentuk sistem persamaan linear dua variabel.
• Jika sudah mendapatkan dua nilai variabel, substitusikan keduanya di salah satu persamaan sehingga diperoleh semua penyelesaian variabelnya.

Berikut ini contoh soal yang bisa dipelajari agar lebih paham cara menggunakan metode ini

Temukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut

x + y + z = -6

x + y – 2z = 3

x – 2y + z = 9

Diketahui:

x + y + z = -6 … (1)

x + y – 2z = 3 … (2)

x – 2y + z = 9 … (3)

Pembahasan:

Tentukan persamaan x melalui (1)

x + y + z = -6 ⇔ x = -6 – y – z … (4)

Substitusikan (4) ke (2)

x + y – 2z = 3

-6 – y – z + y – 2z = 3

-6 – 3z = 3

3z = -9

z = -3

Substitusikan (4) ke (3)

x – 2y + z = 9

-6 – y – z – 2y + z = 9

-6 – 3y = 9

– 3y = 15

y = 15/(-3)

y = -5

Substitusikan z dan y ke (1)

x + y + z = -6

x – 5 – 3 = -6

x – 8 = -6

x = 8 – 6

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -5, -3)}

Gabungan

Merupakan gabungan antara metode eliminasi dan substitusi. berikut ini langkah-langkah penyelesaian metode gabungan

• Melakukan eliminasi atau menghilangkan salah satu variabel dengan menyamakan konstanta variabel yang akan dieliminasi.
• Setelah terbentuk sistem persamaan linear dua variabel, lakukan eliminasi seperti langkah (a) hingga diperoleh nilai salah satu variabel.
• Substitusikan nilai variabel yang diketahui pada salah satu persamaan linear dua variabelnya hingga diperoleh nilai variabel yang lain.
• Lakukan langkah yang sama hingga semua variabel diketahui nilainya.

Berikut ini contoh soal yang bisa dipelajari agar lebih paham cara menggunakan metode ini

Buatlah penomoran seperti pada metode sebelumnya.

Lakukan eliminasi antara persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel y.

Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan (2) dan (3).

Lakukan eliminasi persamaan (4) dan (5).

Substitusikan nilai x = -1 ke persamaan (4).

Substitusikan nilai x = -1 dan z = 1 ke persamaan (1).

Jadi, nilai x, y, z yang memenuhi adalah -1, 3, 1.