Memahami Rumus Simpangan Baku Beserta Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Sebelum masuk ke perhitungan rumus simpangan baku, penting untuk memahami konsepnya terlebih dahulu. Simpangan baku dikenal sebagai standar deviasi, konsep yang sering diajarkan dalam ilmu statistik untuk mengukur sejauh mana data dalam suatu kelompok bersama atau dekat dengan satu sama lain.

Dalam konteks statistik, standar deviasi digunakan untuk menilai seberapa rapat atau tersebar data dalam sampel serta seberapa dekat titik data individu dengan nilai rata-rata dari seluruh sampel. Dengan menentukan dan menghitung simpangan baku atau standar deviasi, para praktisi statistik atau analis data dapat menilai sejauh mana sampel data yang diambil merepresentasikan seluruh populasi.

Mengingat sulitnya dan mahalnya mencari data yang mencakup seluruh populasi, rumus simpangan baku memberikan cara untuk mengevaluasi kesamaan atau perbedaan dalam sebaran data dari sampel. Rumus tersebut memungkinkan kita menentukan dan menghitung sejauh mana setiap nilai dalam sampel mendekati atau menjauhi nilai rata-rata sampel.

Rumus Simpangan Baku dan Contoh Soalnya

Rumus simpangan baku memberikan panduan untuk menghitung simpangan baku dan mengevaluasi sebaran data dalam suatu sampel. Berikut penjelasan rumusnya:

1. Rumus Simpangan Data Tunggal

S = simpangan baku

Xi = nilai tengah

x = nilai rata-rata

n = jumlah data

Untuk memahami cara menghitung simpangan baku, mari kita lihat contoh soal berikut:

Di sebuah kelas terdapat 10 siswa dengan nilai ujian Matematika 80, 85, 90, 75, 70, 95, 85, 80, 85, 90. Bagaimana cara menghitung simpangan baku dari data tersebut?

Penyelesaian:

• Hitung Nilai Rata-ratanya

Langkah pertama dalam menyelesaikan masalah ini ialah menghitung nilai rata-rata dari data yang diberikan. Rata-rata dapat dihitung dengan menjumlahkan semua nilai lalu membaginya dengan jumlah data.

Rata-rata = (80 + 85 + 90 + 75 + 70 + 95 + 85 + 80 + 85 + 90) / 10 = 83.

• Menghitung Penyimpangan Setiap Data dari Nilai Rata-ratanya

Penyimpangan dapat dihitung dengan mengurangkan nilai rata-rata dari setiap nilai individu. Jadi, dengan nilai rata-rata sebelumnya, kita dapat menghitung penyimpangan setiap data sebagai berikut:

Penyimpangan = nilai data - rata-rata

80−83 = −3
85−83 = 2
90−83 = 7
75−83 = −8
70−83 = −13
95−83 = 12
85−83 = 2
80−83 = −3
85−83 = 2
90−83 = 7

• Menghitung Varians

Varians = (nilai penyimpangan)^2 / jumlah data
Varians = ((-3)^2 + 2^2 + 7^2 + (-8)^2 + (-13)^2 + 12^2 + 2^2 + (-3)^2 + 2^2 + 7^2) / 10
Varians = 342 / 10
Varians = 34.2

• Menghitung Simpangan Baku

Simpangan baku dapat dihitung sebagai akar kuadrat dari varians. Dalam hal ini, nilai varians yang telah dihitung sebelumnya ialah 34.2. Jadi, untuk menemukan simpangan baku, kita mengambil akar kuadrat dari nilai varians.

Simpangan baku= akar kuadrat dari varians
Simpangan baku= akar kuadrat dari 34.2

Jadi, simpangan baku dari data tersebut ialah 5.85.

2. Rumus Simpangan Baku Data Populasi

σ (sigma) = simpangan baku populasi

Xi = data ke-i

μ = nilai rata-rata populasi

n = jumlah data pengamatan populasi

Agar lebih memahami perhitungan simpangan baku pada data kelompok, mari kita perhatikan contoh soal berikut:

Diketahui terdapat 40 siswa di kelas yang memiliki tinggi badan berikut:

Penyelesaian:

• Menghitung Nilai Tengah dari Setiap Kelompok

Kelas 1: Rata-rata tinggi badan = 150+154:2=152
Kelas 2: Rata-rata tinggi badan = 155+159:2=157
Kelas 3: Rata-rata tinggi badan = 160+164:2=162
Kelas 4: Rata-rata tinggi badan = 165+169:2=167
Kelas 5: Rata-rata tinggi badan = 170+174:2=172

• Menghitung Nilai Rata-rata dari Nilai Tengah Kelompok

Rata-rata = ((152 * 5) + (157 * 10) + (162 * 15) + (167 * 8) + (172 * 2)) / 40.
Rata-rata = 162.1

• Menghitung Penyimpangan Setiap Nilai Tengah Kelompok dari Rata-ratanya

Penyimpangan = nilai tengah kelompok - rata-rata

Kelas 1: 152 - 162.1 = -10.1
Kelas 2: 157 - 162.1 = -5.1
Kelas 3: 162 - 162.1 = -0.1
Kelas 4: 167 - 162.1 = 4.9
Kelas 5: 172 - 162.1 = 9.9

• Menghitung Varians

Varians = (frekuensi * nilai penyimpangan^2) / jumlah data
Varians = ((5 * (-10.1)^2) + (10 * (-5.1)^2) + (15 * (-0.1)^2) + (8 * 4.9^2) + (2 * 9.9^2)) / 40
Varians = 98.49 / 40
Varians = 2.46

• Menghitung Simpangan Baku

Simpangan baku = akar kuadrat dari varians
Simpangan baku = akar kuadrat dari 2.46
Simpangan baku = 1.57
Jadi, simpangan baku dari data tersebut ialah 1.57.

Fungsi Simpangan Baku

Simpangan baku memiliki beberapa fungsi penting dalam statistik, di antaranya:

1. Mengukur Sebaran Data

Simpangan baku memberikan indikasi sejauh mana nilai-nilai dalam suatu sampel tersebar atau berkumpul di sekitar nilai rata-rata. Semakin kecil simpangan bakunya, semakin rapat dan konsisten sebaran data.

2. Evaluasi Konsistensi

Simpangan baku membantu dalam mengevaluasi tingkat konsistensi atau variasi dalam suatu set data. Nilai simpangan baku yang rendah menunjukkan bahwa data cenderung konsisten, sementara nilai yang tinggi menandakan variasi yang lebih besar.

3. Pembanding Data

Simpangan baku memungkinkan perbandingan antara sebaran data dari dua atau lebih sampel. Dengan membandingkan simpangan baku, kita dapat menilai seberapa seragam atau berbedanya karakteristik data antar kelompok.

4. Keakuratan Peramalan

Simpangan baku digunakan dalam perhitungan interval kepercayaan dan dalam analisis regresi untuk memahami seberapa akurat perkiraan dan prediksi berdasarkan model statistik.

5. Penyaring Outlier

Simpangan baku membantu mendeteksi adanya pencilan (outlier) dalam data. Nilai yang jauh dari nilai rata-rata dengan simpangan baku yang tinggi mungkin menunjukkan adanya nilai yang tidak biasa atau anomali.

Rumus simpangan baku melibatkan langkah-langkah perhitungan, termasuk pengurangan setiap nilai individu dengan rata-rata, kuadratnya lalu mengambil akar kuadrat dari jumlah seluruh nilai tersebut dibagi dengan jumlah data. Simpangan baku memberikan gambaran tentang tingkat dispersi data yang berguna untuk memahami karakteristik sebaran nilai dalam suatu set data.