Ada berbagai materi matematika SMA yang harus dipelajari. Salah satunya yaitu fungsi kuadrat, sebuah fungsi matematika yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2. Selain memiliki variabel, dalam fungsi kuadrat juga memiliki komponen lain, yakni koefisien dan konstanta.
Secara umum, fungsi kuadrat memiliki bentuk atau rumus f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, dengan f(x) = y merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta.
Dalam praktiknya, fungsi kuadrat kerap disamakan dengan persamaan kuadrat. Namun fakatanya, keduanya memiliki perbedaan yang terletak pada nilai variabelnya. Persamaan kuadrat memiliki variabel dengan nilai terbatas, yang dihasilkan dari penyelesaian persamaan kuadrat. Sedangkan fungsi kuadrat variabelnya memiliki nilai yang tidak terbatas.
Artinya nilai x dalam fungsi kuadrat bisa digantikan dengan sembarang bilangan dan bisa diplot dalam sebuah grafik atau kurva, yang biasanya disebut sebagai parabola.
Agar lebih memahami tentang fungsi kuadrat, berikut ini ulasan lengkapnya mulai dari jenis hingga contoh soalnya yang bisa dipelajari.
Jenis-jenis Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah jenis fungsi matematika yang memiliki bentuk umum f(x)=ax2+bx+c, dimana a, b, dan c adalah konstanta, dengan a tidak boleh sama dengan nol.
Meskipun bentuk umumnya sama, ada beberapa variasi dalam jenis fungsi kuadrat berdasarkan karakteristik dan sifat-sifat tertentu. Berikut adalah beberapa jenis fungsi kuadrat yang umum.
1. Fungsi Kuadrat Standar
Fungsi kuadrat standar memiliki bentuk umum seperti yang telah disebutkan di atas, yakni f(x)=ax2+bx+c. Ini adalah bentuk dasar dari fungsi kuadrat.
2. Fungsi Kuadrat Monotonik
Fungsi kuadrat monotonik adalah jenis fungsi kuadrat, dimana a>0 (lembah parabola) atau a0 (puncak parabola). Fungsi ini selalu meningkat atau selalu menurun saat x bergerak ke kiri atau kanan. Tidak ada perubahan tanda pada a.
3. Fungsi Kuadrat Non-Monotonik
Fungsi kuadrat non-monotonik adalah jenis fungsi kuadrat, dimana a dapat berubah tanda, yaitu dari positif ke negatif atau sebaliknya. Ini menghasilkan parabola yang terbuka ke atas di satu sisi dan terbuka ke bawah di sisi lain.
4. Fungsi Kuadrat Bersifat Konstan
Fungsi kuadrat bersifat konstan adalah jenis fungsi kuadrat di mana a=0, sehingga hanya tersisa suku linier (bx + c). Ini sebenarnya bukan fungsi kuadrat lagi, melainkan fungsi linier.
5. Fungsi Kuadrat Dua Variabel
Fungsi kuadrat dua variabel melibatkan dua variabel independen, yaitu x dan y. Jenis fungsi kuadrat ini memiliki bentuk umum f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+f. Ini adalah fungsi kuadrat dalam dua dimensi.
6. Fungsi Kuadrat Posisi
Fungsi kuadrat posisi adalah jenis fungsi kuadrat yang digunakan dalam konteks fisika untuk menggambarkan pergerakan benda dalam satu dimensi. Ini memiliki bentuk Ini memiliki bentuk s(t)=ut+1/2at2, di mana s(t) adalah posisi, u adalah kecepatan awal, a adalah percepatan, dan t adalah waktu.
Contoh Soal Fungsi Kuadrat
Berikut dibawah ini sepuluh contoh soal SPLTV dari berbagai sumber yang bisa dipelajari.
Contoh Soal 1
Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 2(3x&³2;-x)-8-3x
Penyelesaian:
2(3x&³2;-x)=8-3x
6x&³2;-2x = 8-3x
=6x&³2;+x-8
Jadi nilai a=6, b=1 dan c=(-8) 2.
Contoh Soal 2
Tentukan nilai x dari (x-2)(3x+4) = 0
Penyelesaian:
Gunakan sifat pada sistem bilangan real berikut
a.b = 0, dengan a,b∈R hanya dipenuhi a=0 atau b=0
Sehingga,
(x-2)(3x+4) = 0
(x-2)=0 (3x+4) = 0
x= 2 x = -4/3
Jadi, nilai x adalah x=2 dan x= -4/3
Contoh Soal 3
Suatu fungsi kuadrat f(x) = ax&³2; - 4x + c mempunyai titik puncak di (1, 4). Tentukan nilai f(x)!
Jawaban:
Pertama, substitusikan koordinat x pada titik puncak ke dalam rumus sumbu simetri untuk mendapatkan nilai a
= 1 = -(b/2a)
= 1 = -(-4/2a)
= 1 = 2/a
= a = 2
Kemudian, substitusikan nilai a dan koordinat puncak (1, 4) ke fungsi kuadrat f(x) = ax&³2; - 6x + c untuk mendapatkan nilai c
= 1 = (2x1&³2;) - (6x1) + c
= 1 = 2 - 6 + c
= 1 = -5 + c
= 1 + 5 = c
= 6 = c
Terakhir, untuk menemukan nilai f(x), substitusikan nilai a dan c ke dalam f(x) = ax&³2; - 6x + c
= f(x) = ax&³2; - 6x + c
= f(x) = 2(x&³2;) - 6(x) + 3
= f(x) = 2x&³2; - 6x + 3
Jadi, nilai f(x) = 2x&³2; - 6x + 3
Jawaban:
Pertama, substitusikan koordinat x pada titik puncak ke dalam rumus sumbu simetri untuk mendapatkan nilai a
= 2 = -(b/2a)
= 2 = -(-8/2a)
= 2 = 4/a
= a = 2
Kemudian, substitusikan nilai a dan koordinat puncak (2, 3) ke fungsi kuadrat f(x) = ax&³2; - 8x + c untuk mendapatkan nilai c
= 2 = 8 - 16 + c
= 2 = -8 + c
= 10 = c
= 10 = c
= f(3) = (2x3&³2;) - (8x3) + 10
= f(3) = 18 - 24 + 10
= f(3) = 4
Contoh Soal 5
Suatu fungsi kuadrat f(x) = ax&³2; - 4x + c mempunyai titik puncak di (1, 4). Tentukan nilai f(x)!
Jawaban:
Pertama, substitusikan koordinat x pada titik puncak ke dalam rumus sumbu simetri untuk mendapatkan nilai a
= 1 = -(b/2a)
= 1 = -(-4/2a)
= 1 = 2/a
= a = 2
Kemudian, substitusikan nilai a dan koordinat puncak (1, 4) ke fungsi kuadrat f(x) = ax&³2; - 6x + c untuk mendapatkan nilai c
= 1 = (2x1&³2;) - (6x1) + c
= 1 = 2 - 6 + c
= 1 = -5 + c
= 1 + 5 = c
= 6 = c
Terakhir, untuk menemukan nilai f(x), substitusikan nilai a dan c ke dalam f(x) = ax&³2; - 6x + c
= f(x) = ax&³2; - 6x + c
= f(x) = 2(x&³2;) - 6(x) + 3
= f(x) = 2x&³2; - 6x + 3
Jadi, nilai f(x) = 2x&³2; - 6x + 3.
Contoh Soal 6
f(x) = 3x&³2; - 2x + 5 memiliki bentuk sesuai dengan bentuk f(x) = ax&³2; + bx + c. Hitunglah nilai 2a + 3b + 4c!
Jawaban:
Diketahui nilai a = 3, b = -2, c = 5
= 2a + 3b + 4c
= 2(3) + 3(-2) + (4 x 5)
= 6 - 6 + 20
= 20
Contoh Soal 7
Diketahui grafik y = 2x&³2; + x - 6
Tentukan titik potong grafik pada sumbu y!
Jawaban:
Grafik y = 2x&³2; + x - 6, memotong sumbu y jika x = 0
Jadi,
y = 2(0)&³2; + 0 - 6
y = -6
Jadi titik potong grafik y = 2x&³2; + x - 6 pada sumbu y adalah (0, -6)
Contoh Soal 8
Suatu fungsi kuadrat f(x) = ax&³2; - 4x + c mempunyai titik puncak di (1, 4). Tentukan nilai f(x)!
Jawaban:
Pertama, substitusikan koordinat x pada titik puncak ke dalam rumus sumbu simetri untuk mendapatkan nilai a
= 1 = -(b/2a)
= 1 = -(-4/2a)
= 1 = 2/a
= a = 2
Kemudian, substitusikan nilai a dan koordinat puncak (1, 4) ke fungsi kuadrat f(x) = ax&³2; - 6x + c untuk mendapatkan nilai c
= 1 = (2x1&³2;) - (6x1) + c
= 1 = 2 - 6 + c
= 1 = -5 + c
= 1 + 5 = c
= 6 = c
Terakhir, untuk menemukan nilai f(x), substitusikan nilai a dan c ke dalam f(x) = ax&³2; - 6x + c
= f(x) = ax&³2; - 6x + c
= f(x) = 2(x&³2;) - 6(x) + 3
= f(x) = 2x&³2; - 6x + 3
Jadi, nilai f(x) = 2x&³2; - 6x + 3.
Contoh Soal 9
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x^2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4 maka,
f(x) = y
x^2 + bx + 4 = 3x + 4
x^2 + bx – 3x + 4 – 4 = 0
x^2 + (b – 3)x = 0
Syarat menyinggung,
D = 0
b^2 – 4ac = 0
(b – 3)^2 – 4.1.0 = 0
(b – 3)^2 = 0
(b – 3)(b – 3) = 0
b = 3
Berdasarkan perhitungan tersebut, maka nilai b yang memenuhi adalah 3.
Contoh Soal 10
Diketahui grafik y = 2x&³2; + x - 6
Tentukan titik potong grafik pada sumbu x!
Jawaban:
Grafik y = 2x&³2; + x - 6, memotong sumbu x jika y = 0
Jadi,
2x&³2; + x - 6 = 0
(2x - 3) (x + 2) = 0
2x - 3 = 0 atau x + 2 = 0
2x = 3 x = -2
x = 1½
Jadi titik potong grafik y = 2x&³2; + x - 6 pada sumbu x adalah (1½, 0) dan (- 2, 0)