Limit merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang termasuk di dalam kalkulus. Selain itu, terdapat konsep lain seperti integral dan diferensial.
Kali ini, kami akan lebih banyak membahas tentang konsep limit. Patut diketahui bahwa pelajaran tentang limit biasanya didapatkan di bangku Sekolah Menengah Atas (SMA).
Pada konteks matematika, limit diartikan sebagai nilai bahwa fungsi mendekati hasil untuk nilai yang dimasukkan. Limit termasuk penting dalam kalkulus dan analisis matematika dan digunakan untuk mendefinisikan integral, turunan, dan kontinuitas.
Melansir Aku Pintar, limit merupakan nilai yang menggunakan pendekatan fungsi f(x) saat mendekati nilai tertentu. Dimana nilai x mendekati suatu nilai untuk fungsi f(x).
Untuk mengerjakan soal limit, terdapat beberapa cara yang bisa digunakan. Di antaranya yaitu substitusi, faktorisasi, dan perkalian sekawan.
Kali ini, kami juga menyertakan contoh soal limit fungsi aljabar. Bisa digunakan untuk latihan di rumah, berikut lengkapnya.
Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar
1. Hitunglah nilai limit dari fungsi f(x) = 2x&³2; + 3x + 1 saat x mendekati 3.
Jawaban:
Untuk mencari limit, perlu substitusi x = 3 ke dalam fungsi:
f(3) = 2(3)&³2; + 1 = 18 - 9 + 1 = 0
Jadi, Lim x →3 f(x) = 10
2. Hitunglah nilai dari lim x&³2;-4
x→2 x+1
Jawaban:
lim x&³2;-4 = 2&³2;-4 = 4-4 = 0 = 0
x→2 x+1 2+1 3 3
3. Berapa nilai lim 6x⁵ -4x x→0 2x&³2;+x
Jawaban:
lim 6x⁵ -4x = lim x(6x⁴ -4)
x→0 2x&³2;+x x→0 x(2x+1)
= lim (6x⁴ -4)
x→0 (2x+1)
= 6 . 0⁴ -4 = -4
2. 0 +1 1
= -4
4. Berapakah nilai dari lim 3x&³2;+x x→∞ 4x3-2x
Jawaban:
lim 3x&³2;+x = lim 3x&³2;+x/x3
x→∞ 4x3-2x x→∞ 4x3-2x/x3
= 3+1/∞
= 4- 2 . ∞
= 0+0 = 0 = 0
= 4-0 4
5. Hitunglah nilai dari lim(x -> -3) (x^2 - 9) / (x + 3).
Jawaban:
Sederhanakan fungsi dengan faktorisasi terlebih dahulu. Nilai x dengan -3 di dalam fungsi tidak dapat langsung disubstitusikan lantaran akan menghasilkan tidak terdefinisi atau 0/0.
Faktorkan x^2 - 9 menggunakan rumus selisih kuadrat, sehingga lim(x -> -3) (x^2 - 9) / (x + 3) = lim(x -> -3) [(x - 3)(x + 3)] / (x + 3).
Faktor (x + 3) pada numerator dan denominator saling menyelimuti, sehingga dapat dibatalkan, dan kita peroleh lim(x -> -3) (x^2 - 9) / (x + 3) = lim(x -> -3) (x - 3) = -6.
6. Tentukanlah nilai limit dari fungsi g(x) = x&³3; - 8/x - 2 saat x mendekati 2.
Jawaban:
Perlu substitusi x = 2 ke dalam fungsi menjadi:
g(2) = 2&³3;-8/2-2 = 0/0
Bentuk 0/0, lalu faktorisasikan menjadi:
g(x) = (x-2)(x&³2;+2x+4)/x-2
Sederhanakan fungsi tersebut:
g(x) = x&³2; + 2x + 4
Substitusikan x = 2 ke dalam fungsi yang disederhanakan:
g(2) = 2&³2; + 2.2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Jadi, Lim x →2 g(x) = 12
7. Hitunglah nilai dari lim(x -> 5) √(x+2) - √7.
Jawaban:
Substitusikan nilai x dengan 5 pada fungsi. Maka, lim(x -> 5) √(x+2) - √7 = √(5+2) - √7 = √7 - √7 = 0.
Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar
8. Hitunglah nilai dari lim(x -> 0) (x^2 + 3x).
Jawaban:
Substitusikan nilai x dengan 0 pada fungsi. Maka, lim(x -> 0) (x^2 + 3x) = 0^2 + 3(0) = 0.
9. Hitunglah nilai dari lim(x -> 4) (2x^2 - 16) / (x - 4).
Jawaban: Kita tidak dapat langsung substitusikan nilai x dengan 4 pada fungsi karena menghasilkan bentuk 0/0 yang tidak terdefinisi. Namun, kita dapat menyederhanakan fungsi dengan faktorisasi.
Faktorkan 2x^2 - 16 menggunakan rumus selisih kuadrat, sehingga lim(x -> 4) (2x^2 - 16) / (x - 4) = lim(x -> 4) [2(x + 4)(x - 4)] / (x - 4). Faktor (x - 4) pada numerator dan denominator saling menyelimuti, sehingga dapat dibatalkan, dan kita peroleh lim(x -> 4) (2x^2 - 16) / (x - 4) = lim(x -> 4) 2(x + 4) = 2(4 + 4) = 16.
10. Hitunglah nilai limit dari fungsi h(x) = x&³2; - 16/x - 4 saat x mendekati 4.
Jawaban:
Faktorisasi pada fungsi ini:
h(x) = (x-4)(x+4)/x-4
Sekarang, kamu menyederhanakan fungsi:
h(x) = x + 4
Kemudian, substitusi x = 4 ke dalam fungsi yang disederhanakan:
h(4) = 4 + 4 = 8
Jadi, Lim x→4 h(x) = 8
11. Tentukan nilai lim 2x2 + 5x→3
Jawaban:
Nilai x = 3 untuk variabel x pada 2x2, nah inilah yang dinamakan substitusi. Sehingga penyelesaian limit di atas secara substitusi adalah sebagai berikut.
lim 2x2 + 5 = 2.(3)2 + 5 = 23x→3
12. Hitunglah nilai dari lim(x -> ∞) (e^x) / (x^3).
Jawaban:
Pada limit tak hingga, kita perhatikan suku dengan pangkat tertinggi pada numerator dan denominator, yaitu x^3 dan e^x. Dalam hal ini, pangkat pada fungsi eksponensial tumbuh lebih cepat daripada pangkat polinomial. Oleh karena itu, limit tersebut akan menuju tak hingga positif. Jadi, lim(x -> ∞) (e^x) / (x^3) = ∞.
13. Hitunglah nilai lim (x&³2;+2x-1) x→4
Jawaban:
lim (x&³2;+2x-1) = (4&³2;+2.4-1) = 23
x→4
14. Berapa nilai dari lim(x -> π/2) sin(3x)?
Jawaban:
Substitusikan nilai x dengan π/2 pada fungsi. Maka, lim(x -> π/2) sin(3x)
= sin(3(π/2))
= sin(3π/2)
= -1.
Itulah kumpulan contoh soal limit fungsi aljabar yang dirangkum dari berbagai sumber. Selain itu, konsep limit juga diterapkan pada trigonometri dengan logika sama namun operasi hitung yang lebih kompleks.