Induksi Matematika adalah Metode Pembuktian, Ini Penjelasannya

Matematika adalah ilmu pengetahuan yang membantu kehidupan manusia. Ilmu matematika membantu untuk melatih kemampuan berpikir kritis, kreatif, dan menyelesaikan masalah.

Hingga kini materi tentang matematika terus berkembang. Induksi matematika dipakai untuk memasukkan data ke suatu program. Contohnya induksi matematika yang dipakai untuk pembuatan program komputer dan teknologi ATM.

Dalam buku Explore Matematika Jilid 2, konsep induksi matematik dipakai dalam komputer. Program yang benar akan mengeluarkan hasil yang sesuai. Jika program menampilkan pesan error, maka pemakai memasukkan data yang salah.

Pengertian Induksi Matematika 

Induksi matematika adalah metode pembuktian untuk menentukan kebenaran. Metode ini dipakai dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.

Mengutip dari zenius.net, induksi matematika adalah cara pembatalan atau pernyataan matematika. Induksi matematika ini menggunakan rumus sebagai metode pembuktian terhadap suatu pernyataan.

Cara Pembuktian Induksi Matematika

Dalam buku Peka Soal Matematika oleh Darmawati, pembuktian induksi matematika terdiri dari 3 langkah, yaitu:

1. Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = 1
2. Asumsikan pernyataan benar untuk n = k
3. Tunjukkan bahwa n = k + 1 juga benar

Dari ketiga lengkah tersebut, dapat disimpulkan pernyataan benar untuk setiap n bilangan asli. terdapat beberapa pernyataan yang berkaitan dengan bilangan asli. Bilangan ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika. Pernyataan diatas adalah model induksi matematika berupa barisan, ketidaksamaan, dan keterbagian.

Contoh Soal Penerapan Induksi Matematika

1. Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan positif berlaku, maka

1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n + 1)

Cara membuktikan dengan induksi matematika yaitu:

Tunjukkan bahwa p(n) benar untuk n =1

Karena p(1) adalah 1 = 1/2 x 1 (1 + 1), maka p (1) benar

Diasumsikan bahwa p (n) benar untuk n = k. Dengan kata lain, pernyataan 1 + 2 + 3 ... + k = 1/2k (k + 1) bernilai benar

2. Buktikan bahwa 3 ²ⁿ + 2 ^{2n + 2} habis dibagi 5

Pembahasan:

Langkah 1 (n = 1)

3 ²⁽¹⁾ + 2 ^{2(1) + 2} = 3² + 2⁴

                                = 9 + 16

                                = 25

Habis dibagi 5 terbukti

Langkah 2 (n = k)

3^2k + 2^{2k + 2}

3. Buktikan bahwa bentuk 3²ⁿ - 1 selalu habis dibagi oleh 8, untuk setiap bilangan asli n.

Pembahasan

Ditunjukkan untuk n=1 benar. 3²¹ - 1 = 8 karena 8 habis dibagi oleh 8 maka pernyataan benar untuk n =1
Misalkan pernyataan benar untuk n = k, diperoleh 3^2k -1 selalu habis dibagi oleh 8
Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 benar atau 3 ^2(k+1) - 1 habis dibagi oleh 8

Maka 3 ^{2(k + 1)} = 3 ^2k+2 -1

                        = 3 ^{2k x 32} -1

                        = 9 x ^{3 2k} -1

                         = 9 (3 ^2k - 1) + 8

Mengingat bahwa 3 ^2k - 1 habis dibagi 8, maka bentuk 9(3 ^2k -1) + 8 juga habis dibagi 8. Akibatnya kita dapatkan bahwa pernyataan benar untuk n = k + 1, jadi pernyataan benar untuk setiap bilangan asli n.

Itulah penjelasan singkat mengenai induksi matematika dan cara membuktikannya. Untuk mempelajari lebih lanjut Anda bisa mencari pembahasan terkait.