Menilik Jenis, Cara Menentukan, dan Contoh Soal Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat merupakan salah satu materi yang wajib dipelajari siswa dalam pelajaran Matematika. Persamaan kuadrat sendiri memiliki pengertian sebagai persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua (2).
Adapun bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
ax2 + bx + c = 0
Keterangan:
a, b = koefisien (a ≠ 0);
x = variabel; dan
c = konstanta.
Agar lebih memahami tentang persamaan kuadrat, berikut ini ulasan lengkapnya mulai dari jenis hingga contoh soalnya yang bisa dipelajari.
Jenis-jenis Persamaan Kuadrat
Secara umum, persamaan kuadrat dibagi menjadi empat, yaitu sebagai berikut.
1. Persamaan Kuadrat Biasa
Persamaan kuadrat biasa adalah persamaan kuadrat yang nilai a = 1.
Berikut ini contohnya. x2 + 3x + 2 = 0
2. Persamaan Kuadrat Murni
Persamaan kuadrat murni adalah persamaan kuadrat yang nilai b = 0.
Berikut ini contohnya. x2 + 2 = 0
3. Persamaan Kuadrat Tak Lengkap
Persamaan kuadrat tak lengkap adalah persamaan kuadrat yang nilai c = 0.
Berikut ini contohnya. x2 + 3x = 0
4. Persamaan Kuadrat Rasional
Persamaan kuadrat rasional adalah persamaan kuadrat yang nilai koefisien dan konstantanya berupa bilangan rasional.
Berikut ini contohnya. 4x2 + 3x + 2 = 0
Cara Menentukan Persamaan Kuadrat
Akar persamaan kuadrat merupakan salah satu faktor penting yang harus ditentukan dalam penyelesaian persamaan kuadrat. Dilansir dari laman Quipper, ada beberapa cara yang bisa digunakan untuk mencari akar pada persamaan kuadrat, yaitu:
1. Faktorisasi
Faktorisasi adalah penjumlahan suku aljabar menjadi bentuk perkalian faktornya. Jika Anda melakukan faktorisasi persamaan kuadrat, artinya Anda membuat perkalian dua buah persamaan linear.
ax2 + bx + c = 0
b = hasil penjumlahan antara suku ke-1 dan ke-2
c = hasil perkalian antara suku ke-1 dan ke-2
Perhatikan contoh berikut.
- Bentuk persamaan kuadrat: x2 + 5x + 6 = 0
Bentuk faktorisasi: (x + 3) (x + 2) = 0
Akar: x = -3 atau x = -2
- Bentuk persamaan kuadrat: x2 – 9 = 0
Bentuk faktorisasi: (x – 3)(x + 3) = 0
Akar: x = 3 atau x = -3
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk ax2 + bx + c = 0 bisa dijabarkan menjadi seperti berikut.
(x + p)2 = q
Perhatikan contoh berikut.
Bentuk persamaan kuadrat: x2 + 5x + 6 = 0
x2 + 8x + 6 = 0
(x2 + 8x) = -6
x2 + 8x +16 = -6 +16
(x + 4)2 = 10
(x + 4) = ± √10
x = √10 – 4 atau x = -√10 – 4
3. Menggunakan Rumus abc
Adapun persamaan rumus abc adalah sebagai berikut.
Perhatikan contoh berikut.
Tentukan akar persamaan x2 – 4x – 5 = 0!
Diketahui: a = 1, b = -4, dan c = -5
Substitusikan nilai a, b, dan c ke persamaan abc.
Jadi, akar persamaan x2 – 4x – 5 = 0 adalah x = 5 atau x = -1.
Contoh Soal Persamaan Kuadrat
Berikut dibawah ini tujuh contoh soal SPLTV dari berbagai sumber yang bisa dipelajari.
Contoh Soal 1
x²-6x+(-x(-6))² = 16 + 16 + ( x (−6))² x²-6x + (-3)2= 16 +(-3)2
x²-6x+9= 16 +9 (x-3)2=25
X-3 +5
X1 = 5 +3 atau x2 = -5 +3 X1 = 8 atau x2 = -2
Contoh Soal 2
Persamaan kuadrat x² + (2m-1)x - 2m = 0, mempunyai akar-akar nyata dan berlainan. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah...
Pembahasan:
Perhatikan konsep berikut ini.
Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 → akar-akar nyata dan berlainan jika D > 0.
x² + (2m - 1)x - 2m = 0 → a = 1; b = 2m - 1, dan c = -2m. Memiliki akar-akar nyata dan berlainan (berbeda), maka berlaku
D > 0
(2m -1)² 4 . (1) . (-2m) > 0
4m² - 4m + 1 +8m > 0
4m² + 4m + 1 > 0
(2m + 1)² = 0
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah m < -1⁄2 atau m > - 1⁄2.
Contoh Soal 3
Diketahui persamaan kuadrat berikut:
2x² - 5x - 12 = 0
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.
Jawab:
Diketahui nilai kofisien a, b, dan c yaitu a = 2, b = -5, dan c = -12. Selanjutnya, dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
x = (5 ± √(5² - 4(2)(-12))) / 2(2)
x = (5 ± √169) / 4
Maka, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x₁ = 4 dan x₂ = -1.5.
Jawaban: x₁ = 4, x₂ = -1.5
Contoh Soal 4
Tentukan jenis akar persamaan kuadrat x2 + 16x + 64 = 0!
Pembahasan:
Ingat, untuk menentukan jenis akar, harus dicari nilai determinannya.
x2 – 64 = 0
a = 1
b = 16
c = 64
D = (16)2 – 4 . 1 . (-64)
= 256 – 256
= 0
Oleh karena nilai D = 0, maka persamaan x2 + 16x + 64 = 0 memiliki dua akar yang kembar (sama) dan real.
Contoh Soal 5
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat berikut ini: 2x² + 3x - 2 = 0
Jawab:
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di atas, bisa menggunakan rumus kuadrat atau formula abc. Namun, dalam contoh ini, akan menggunakan faktorisasi.
Pertama, cari dua bilangan yang ketika dikalikan sama dengan -4 dan ketika ditambah sama dengan 3. Dalam hal ini, bilangan tersebut adalah 4 dan -1.
Oleh karena itu, kita dapat mengganti persamaan kuadrat menjadi:
2x² + 3x - 2 = (2x + 4)(x - 1) = 0
Kemudian, dapat mencari nilai x dengan mengatur setiap faktor sama dengan nol:
2x + 4 = 0 atau x - 1 = 0
Dengan memecahkan setiap persamaan di atas maka dapat menentukan nilai x:
2x + 4 = 0 2x = -4 x = -2
x - 1 = 0 x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat 2x² + 3x - 2 = 0 adalah -2 atau 1.
Contoh Soal 6
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut:
3x² - 2x + 1 = 0
Jawab:
Diketahui nilai kofisien a, b, dan c yaitu a = 3, b = -2, dan c = 1. Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
x = (2 ± √(4 - 12)) / 6
x = 1/3
Jadi, akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah x = 1/3.
Contoh Soal 7
Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + 3x + c = 0 adalah 4. Tentukan nilai akar lainnya!
Pembahasan:
Pertama, substitusikan nilai x = 4 untuk mengetahui nilai c:
x2 + 3x + c = 0
42 + 3(4) + c = 0
16 + 12 + c = 0
28 + c = 0
c = -28
Substitusi nilai c ke persamaan awal, lalu faktorkan
x2 + 3x + c = 0
x2 + 3x -28 = 0
(x-4)(x+7)=0
x = 4 atau x = -7
Jadi, akar lainnya dari persamaan kuadrat tersebut adalah -7.
