Peluang merupakan salah satu materi materi matematika yang membahas tentang kemungkinan munculnya suatu kejadian. Peluang sendiri memiliki berbagai macam istilah yang harus dipelajari.
Salah satunya yaitu peluang permutasi yang merupakan susunan semua atau sebagian dari eleman dari himpunan yang mementingkan urutan elemen.
Peluang permutasi umumnya diterapkan saat pemilihan ketua, sekretaris, bendahara atau sebagaianya yang sangat memperhatikan urutan.
Namun dalam menentukan hal ini, terdapat rumus yang harus digunakan. Untuk lebih jelasnya, berikut pemaparannya di bawah ini.
Rumus Peluang Permutasi
Terdapat lima rumus peluang permutasi yang dibagi berdasarkan jenisnya. Berikut dibawah ini penjelasannya.
1. Rumus Permutasi r dari n Unsur dengan 0 ≤ r ≤ n.
nPr = n! : (n-r)!
Keterangan:
P = permutasi
n = jumlah kejadian yang bisa dipilih
r = jumlah kejadian yang harus dipilih
! = simbol faktorial
2. Permutasi Unsur yang Sama
nPr1,r2,r3,...,rn = n! : r1! r2! r3!...rn
Misal:
Banyak cara untuk menyusun dari kata "GEGER" adalah...
Jawab:
Dari kata "GEGER", banyak huruf (n) = 5
r1 = huruf G = 2
r2 = huruf E = 2
r3 = huruf R = 1
maka:
5P(2,2,1) = 5! : 2! 2! 1!
=5.4.3.2.1 : 2.1.2.1.1
=120 : 4
=30 cara
3. Permutasi Siklis
nP siklis = (n-1)!
Misal:
Sebanyak 5 anak akan duduk di meja bundar. Tentukan berapa variasi tempat duduk yang dapat dibuat dari 5 anak tersebut berdasarkan konsep permutasi!
Banyak anak (n) = 5, maka :
5P siklis = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara
4. Permutasi Berulang dari n Unsur, Tipe Permutasi Terdiri dari r Unsur
Pn = nr
Misal:
Banyak susunan 3 bilangan dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4 adalah...
Jawab:
Banyak susunan 3 bilangan, berarti bilangan ratusan, r = 3
Banyak angka yang akan disusun, n = 4
Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, dan 4:
P4 = 43 = 64 susunan.
5. Permutasi n Unsur yang Berbeda
nPn = P (n,n) = n!
Misal:
Tiga buah buku, yaitu Ekonomi (E), Geografi (G), dan Sejarah (S) akan disusun secara berjajar. Tentukan banyaknya cara untuk menyusun tiga buku tersebut!
Berikut ini akan dijabarkan kemungkinan susunan tiga buah buku pada soal.
E-G-S
E-S-G
G-E-S
G-S-E
S-E-G
S-G-E
Jika memakai rumus: 3! = 3.2.1= 6
Contoh Soal
Berikut ini 8 contoh soal peluang kombutasi dari berbagai sumber yang bisa dipelajari agar lebih paham cara menggunakan kelima rumus di atas.
Contoh Soal 1
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata DINAYA adalah…
- 420
- 360
- 180
- 90
- 60
Pembahasan
Permutasi 6 unsur kata DINAYA dengan 2 huruf yang sama yaitu huruf A 6!/2!
6!/2! =6 x 5 x 4 x 3 x 2! /2!
= 6 x 5 x 4 x 3
= 360 (B)
Contoh Soal 2
Pada suatu acara makan siang kerajaan yang dihadiri oleh 8 orang, para tamu makan dengan posisi duduk melingkar. Banyaknya susunan yang bisa dibuat saat mereka duduk adalah
- 720
- 120
- 5760
- 1250
- 5040
Pembahasan
Permutasi
(n-1)! = (8-1)!
7! = 7x6x5x4x3x2x1
= 5040 (E)
Contoh Soal 3
Seorang karyawan di supermarket terkenal ingin membuat pembeli lebih tertib dan tidak menyerobot antrian di kasir. Ia akan menyusun nomor antre yang terdiri dari tiga angka.
Apabila nomor antrian tersebut tidak memiliki angka yang sama yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, maka ada berapa banyak cara pilihan nomor antrian yang dapat dibuat karyawan tersebut?
Pembahasan
Banyak angka yang tersedia= 4 yang terdiri dari 0, 1, 2, 3
Karyawan akan memilih 3 nomor antrian berbeda, maka banyak pilihannya adalah permutasi 3 dari 4
P(n,r) = n!/(n-r)!
P(4,3) = 4!/(4-3)!
= 4!/1!
= 4 x 3 x 2 x 1
= 24
Contoh Soal 4
Di sebuah sekolah menengah sedang ada pemilihan ketua OSIS beserta wakilnya. Para siswa diminta untuk memilih dua orang dari 12 orang kandidat. Maka banyak cara yang dapat dilakukan sebanyak…
Pembahasan:
P(n,r) = n!/(n-r)!
P(12,2) = 12!/(12-2)!
= 12 x 11 x 10! / 10!
= 12 x 11
= 132
Contoh Soal 5
Seorang fotografer pernikahan harus memanfaatkan waktu dengan baik. Ia hendak mengambil foto dari 10 tamu yang merupakan kerabat dekat.
Mereka ingin berfoto secara bergantian dengan susunan 5 orang 5 orang berjejer dari kanan ke kiri. Banyak posisi foto yang dapat dipilih pada saat sesi pertama adalah…
Pembahasan:
P(n,r) = n!/(n-r)!
P(10,5) = 10!/(10-5)!
= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5! / 5!
= 10 x 9 x 8 x 7 x 6
= 30.240 (C)
Contoh Soal 6
Seorang nenek lupa dengan PIN pada handphonenya. Beliau hanya ingat bahwa angka yang digunakan antara 3 sampai 10.
Apabila PIN handphone terdiri dari 4 angka, ada berapa cara percobaan untuk memasukkan PIN dari handphone nenek?
Pembahasan
P(n,r) = n!/(n-r)!
P(6,4) = 6!/(6-4)!
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!
= 6 x 5 x 4 x 3
= 360 (A)
Contoh Soal 7
Perusahaan pengalengan sedang membutuhkan 4 karyawan baru untuk mengisi posisi berbeda yang kosong. Namun, calon yang tersedia sebanyak 9. Tentukan berapa banyak susunan karyawan yang mungkin dilakukan.
Pembahasan
Dalam mengerjakan sebuah soal permutasi, kita harus mengetahui jenis-jenis rumus permutasi dengan prasyaratnya.
Dalam soal di atas, 4 merupakan bagian di atas, sehingga kita dapat menggunakan persamaan permutasi anggota bagian.
Untuk lebih jelasnya, dapat melihat penyelesaian di bawah ini.
Dalam memilih susunan karyawan yang diterima terdapat 3024 cara.
Contoh Soal 8
Seorang ilmuwan ingin menyusun kata dari 8 huruf. Tentukan berapa banyak susunan 5 huruf yang bisa dibuat oleh ilmuwan tersebut!
Pembahasan
Sama seperti soal di atas, kita harus mengetahui jenis permutasi yang kita kerjakan apakah termasuk anggota himpunan, siklis, atau perulangan.
Dalam soal di atas, ilmuwan ingin membuat susunan 5 huruf dari 9 huruf sehingga 5 adalah bagian dari 8.
Sehingga kita dapat menuliskan penyelesaian permutasinya seperti di bawah.
Kita dapat membuat sebanyak 6720 susunan 5 huruf dari 8 huruf yang ada.