Mencermati Rumus Peluang Binomial, Contoh Soal, dan Pembahasannya
Dalam ilmu matematika khususnya statistika, terdapat materi yang bernama peluang binomial. Pada materi ini, siswa akan mempelajari peluang atau probabibilitas dalam sebuah percobaan.
Untuk mengetahui lebih dalam tentang peluang binomial, simak pengertian, rumus, serta contoh soal yang disajikan lengkap dengan pembahasannya.
Pengertian Peluang Binomial
Binomial identik dengan kata “dua”. Dari sini, bisa disimpulkan bawa peluang binomial adalah peluang yang memuat suatu kejadian dengan dua kemungkinan saja. Misalnya, peluang binomial munculnya gambar atau peluang muncul angka pada pelemparan uang koin.
Peluang binomial ini termasuk dalam statistika inferensial, yaitu ilmu statistik yang berperan dalam proses analisis data. Dalam materi peluang binomial, terdapat juga istilah variabel acak binomial, yakni variabel yang diperoleh dari hasil percobaan binomial.
Syarat Percobaan Binomial
Suatu percobaan dikatakan binomial jika memenuhi syarat-syarat tertentu, yaitu:
- Percobaan dilakukan lebih dari satu kali atau secara berulang-ulang.
- Percobaan termasuk kejadian saling bebas atau bersifat independen. Artinya, hasil suatu percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan lainnya.
- Setiap kejadian memiliki peluang tetap untuk setiap percobaan, di mana peluang itu biasa dilambangkan sebagai p.
- Setiap kejadian hanya memiliki dua kemungkinan, sukses atau gagal.
Untuk lebih memahami persyaratan diatas, simak analisis dari kasus pelemparan satu koin Rp1.000 secara berulang-ulang di bawah ini.
- Pelemparan koin dilakukan secara berulang-ulang. (Memenuhi syarat pertama)
- Hasil pelemparan koin pertama tidak akan pernah mempengaruhi pelemparan koin kedua dan seterusnya. (Memenuhi syarat kedua)
- Pelemparan itu akan menghasilkan dua kemungkinan saja, yaitu gambar atau angka. Jika gambar kamu anggap sukses, maka angka dianggap gagal. (Memenuhi syarat keempat)
- Peluang muncul angka dan gambar akan selalu tetap di semua pelemparan, yaitu 0,5 dan 0,5. (Memenuhi syarat ketiga)
Dari analisis bisa dilihat bahwa semua syarat terpenuhi sehingga bisa disimpulkan bahwa elemparan koin secara berulang kali tersebut termasuk percobaan binomial.
Dari percobaan-percobaan binomial itu, akan didapatkan suatu variabel yang disebut variabel acak binomial.
Rumus Peluang Binomial
Berikut ini merupakan rumus peluang suatu variabel acak dari beberapa percobaan binomial
Dengan:
P(x) = peluang variabel acak;
n = banyaknya percobaan;
x = jumlah kejadian yang diharapkan (x = 0, 1, 2, 3, dst);
p = peluang kejadian sukses atau yang diharapkan; dan
q = peluang kejadian gagal atau yang tidak diharapkan.
Rumus Peluang Binomial Kumulatif
Rumus distribusi binomial kumulatif ini berlaku untuk menentukan peluang suatu kejadian yang diharapkan muncul paling banyak x kali dari beberapa percobaan. Rumusnya sama persis dengan rumus sebelumnya, yaitu:
Dengan:
P(x) = peluang variabel acak;
n = banyaknya percobaan;
x = jumlah kejadian yang diharapkan (x = 0, 1, 2, 3, dst);
p = peluang kejadian sukses atau yang diharapkan; dan
q = peluang kejadian gagal atau yang tidak diharapkan.
Contoh Soal Peluang Binomial
Berikut ini 5 contoh soal dari berbagai sumber yang bisa dipelajari agar lebih paham cara menerapkan rumus peluang binomial.
Contoh Soal 1
Josel melemparkan uang koin sebanyak 12 kali. Berapakah peluang muncul gambar sebanyak 8 kali?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 12
x = 8
Ditanya: P(x = 8) =…?
Jawab:
Mula-mula, tentukan dahulu peluang muncul gambar dan angka pada satu pelemparan. Dalam hal ini, Josel mengharapkan muncul gambar, sehingga peluang muncul gambar dinyatakan sebagai p. Sementara peluang muncul angka sebagai q. Oleh karena hanya ada dua kemungkinan, maka peluang muncul angka (q) = ½ dan peluang muncul gambar (p) = ½. Lalu, gunakan rumus distribusi binomial seperti berikut.
Jadi, peluang muncul gambar sebanyak 8 kali dari 12 pelemparan adalah 0,12.
Contoh Soal 2
Jika Ani melemparkan dua buah dadu sebanyak 5 kali, berapakah peluang muncul mata dadu berjumlah 8 sebanyak 3 kali pada pelemparan tersebut?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 5 kali
x = 3
Ditanya: P(x = 3) =…?
Jawab:
Mula-mula, buatlah tabel kemungkinan munculnya mata dadu berjumlah 8 pada pelemparan tersebut.
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Dari tabel diperoleh bahwa mata dadu berjumlah 8, yaitu {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}. Dengan demikian, peluangnya adalah:
Sementara, peluang muncul mata dadu yang jumlahnya bukan 8 (q) adalah sebagai berikut.
Jika yang ditanyakan peluang muncul mata dadu berjumlah 8 sebanyak 2 kali pada pelemparan tersebut, maka:
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 8 sebanyak 3 kali pada pelemparan tersebut adalah 0,02.
Contoh Soal 3
Di suatu kotak terdapat 3 bola hijau dan bola kuning. Jika dilakukan pengambilan 1 bola sebanyak 6 kali dengan pengembalian sebelumnya, berapakah peluang terambilnya bola kuning sebanyak 2 kali?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 6
x = 2
total bola = 5
Ditanya: P(x = 2) =…?
Jawab:
Dalam kasus ini, kejadian terambilnya bola kuning dianggap sebagai kejadian sukses (p). Sementara kejadian terambilnya bola hijau dianggap kejadian gagal (q).
Mula-mula, Anda harus menentukan peluang terambilnya bola kuning dan bola hijau.
Selanjutnya, tentukan peluang terambilnya bola kuning sebanyak 2 kali pada 5 kali pengambilan dengan pengembalian.
Jadi, peluang terambilnya bola kuning sebanyak dua kali adalah 0,31.
Contoh Soal 4
Sebagai penyerang atau striker, si A ingin untuk mencetak hattrick (tiga kali gol dalam satu pertandingan). Seandainya si A mendapatkan kesempatan untuk mencetak gol sebanyak 4 kali, tentukan peluang si A untuk mencetak hattrick dengan peluang setiap golnya 3/5!
Pembahasan:
Diketahui:
n = 4
x = 3
p = 3/5
q = 2/5
Ditanya: P(x = 3) =…?
Jawab:
Untuk menentukan peluang hattrick dari 4 kesempatan yang ada, gunakan persamaan distribusi binomial seperti berikut.
Jadi, peluang si A untuk mencetak hattrick adalah 0,345.
Contoh Soal 5
Dalam sebuah kuis berhadiah, pemandu acara memberikan 1 soal bonus. Peluang Johnny sebagai salah satu peserta untuk dapat menjawab soal bonus dengan benar adalah p. Berapa peluang Johnny gagal dalam menjawab soal bonus?
Pembahasan:
f(x) = p, ketika x = 1
f(x) = 1 – p, ketika x = 0
Jadi, peluang Johnny gagal dalam menjawab soal bonus adalah 1 – p.