Mengenal Tabel Sudut Istimewa Trigonometri dan Contoh Soalnya

Pexels
Ilustrasi, alat bantu matematika.
Penulis: Destiara Anggita Putri
Editor: Agung
9/8/2023, 15.32 WIB

Pelajaran matematika merupakan salah satu pelajaran penting yang perlu dipahami bagi siswa sekolah, baik di jenjang pendidikan SD, SMP , hingga SMP

Dalam pelajaran ini, terdapat materi yang dibahas secara khusus di tingkat SMA, yaitu tabel sudut istimewa merupakan salah satu kajian yang dibahas dalam trigonometri. 

Lantas, apa itu tabel sudut istimewa trigonometri? Berikut ulasannya di bawah ini.

Tabel Sudut Istimewa  (Pexels) 

Tabel Sudut Istimewa Trigonometri

Dilansir dari buku Jurus Sakti Menaklukkan Matematika SMA 1, 2, & 3 oleh Vani Sugiyono, ‎Muttafaqur Rohmah (2010: 58), materi trigonometri adalah sebuah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut-sudut dalam sebuah segitiga.

Lebih lanjut, dalam buku tersebut juga dipaparkan bahwa nama trigonometri diambil dari bahasa Yunani Trigonon (tiga sudut) dan metro (mengukur).

Trigonometri sangat berhubungan dengan geometri. Selain itu, trigonometri dapat digunakan di segala bidang, mulai dari Fisika, Kimia, Astronomi, Geografi, Mekanik, dan segala bidang ilmu lainnya.

Dengan Trigonometri, manusia dapat mengukur jarak, ketinggian benda, dan masih banyak lagi hal lainnya. Dalam materi ini, terdapat beberapa sudut istimewa yang juga penting untuk diketahui bagi siswa.

Dikutip dari Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian oleh Dini Afriyanti (2006: 6), sudut-sudut istimewa adalah sudut yang nilai perbandingannya dapat diketahui langsung tanpa memerlukan alat bantu, baik berupa tabel maupun kalkulator.

Sudut-sudut istimewa antara lain 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Adapun tabel sudut istimewa trigonometri yang bisa dipelajari, yaitu:

1. Sudut Istimewa Trigonometri Kuadran I



Sumber: Kumparan

Berikut ini perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa pada kuadran I:

  • 0°: sin 0, cos 1, tan 0
  • 30° : sin ½, cos ½ √ 3, tan ⅓ √ 3
  • 45° : sin ½ √ 2, cos ½ √ 2, tan 1
  • 60° : sin ½ √ 3, cos ½, tan √ 3
  • 90° : sin 1, cos 0, tan ~

2. Sudut Istimewa Trigonometri Kuadran II

Berikut ini perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa pada kuadran II

  • 90ᵒ : sin 1, cos 0, tan tak terdefinisi
  • 120ᵒ : sin ½√3, cos –½, tan –√3
  • 135ᵒ : sin ½√2, cos –½√2, tan –1
  • 150ᵒ : sin ½, cos –½√3, tan –⅓√3
  • 180ᵒ : sin 0, cos -1, tan 0

3. Sudut Istimewa Trigonometri Kuadran III

Berikut ini perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa pada kuadran III:

  • 180ᵒ : sin 0, cos -1, tan 0
  • 210ᵒ : sin –½, cos –½√3, tan ⅓√3
  • 225ᵒ : sin –½√2, cos –½√2, tan 1
  • 240ᵒ : sin –½√3, cos –½, tan √3
  • 270ᵒ : sin -1, cos 0, tan tak terdefinisi

4. Sudut Istimewa Trigonometri Kuadran IV

Berikut ini perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa pada kuadran IV:

  • 270ᵒ : sin –1, cos 0, tan tak terdefinisi
  • 300ᵒ : sin –½√3, cos ½, tan –√3
  • 315ᵒ : sin –½√2, cos ½√2, tan –1
  • 330ᵒ : sin – ½, cos ½√3, tan –⅓√3
  • 360ᵒ : sin 0, cos 1, tan 0

Contoh Soal Sudut Istimewa Trigonometri

Berikut di bawah ini sepuluh contoh soal sudut istimewa trigonometri dari berbagai sumber yang bisa dipelajari.

Contoh Soal 1

Berapa nilai sin 120°?

Pembahasan:

120 = 90 + 30, jadi sin 120° dapat dihitung dengan cara berikut:

Sin 120° = sin [90° + 30°]

= cos 30°

Sin 120° berada di kuadran 2, sehingga hasilnya positif. Apabila dilihat pada tabel, cos 30° = ½ √3. Jadi, nilai sin 120° adalah ½ √3.

Contoh Soal 2

Berapa nilai cos 315°?

Pembahasan:

315° = cos [360° - 45°]

= cos 45°

Apabila dilihat pada tabel, cos 45° = ½ √2. Jadi, nilai cos 315° adalah ½ √2.

Contoh Soal 3

Hitunglah tan 30° + tan 45 °

Jawab:

tan 30° + tan 45° = 1/3 √3 + 1 = 1/3 (√3 + 3)

Contoh Soal 4

Tunjukkan bahwa sin2 45o + cos2 45o = 1

Jawab:

sin2 45o + cos2 45o = (1/2 √2)2 + (1/2 √2)2 = ½ + ½ = 1

Contoh Soal 5

Carilah nilai dari Sin 30° + Cos 45°

Jawab:

Pada soal ini, Anda bisa menggunakan tabel nilai sudut istimewa trigonometri.

Dalam tabel tersebut,

Sin 30° memiliki nilai 1/2, sedangkan Cos 45° memiliki nilai (√2)/2.

Jadi, Sin 30° + Cos 45°

= 1/2 + (√2)/2

= (√2 + 1)

Tabel Sudut Istimewa (Unsplash) 

Contoh Soal 6

Tentukan nilai dari: 2 Cos 75° Cos 15°

Jawab:

2 Cos 75° Cos 15° = Cos [75 +15]° + Cos [75 – 15]°

= Cos 90° + Cos 60°

= 0 + ½

= ½

Contoh Soal 7

Sebuah menara tinggi berdiri tegak lurus di tepi sebuah danau. Jarak dari ujung menara ke permukaan danau adalah 100 meter.

Seorang pengamat berada pada sudut 30 derajat dari permukaan air dan melihat ujung menara. Berapa tinggi menara tersebut?

Jawab:

Dalam kasus ini, sudut 30 derajat yang dibentuk oleh pengamat dan permukaan air adalah sudut istimewa trigonometri. Mari kita sebut tinggi menara tersebut sebagai h.

Tinggi menara / Jarak menara ke permukaan air = Tangen 30°

h / 100 = (√3)/3

h = 100 × (√3)/3

h ≈ 57.74 meter

Jadi, tinggi menara tersebut adalah sekitar 57.74 meter.

Contoh Soal 8

Seorang arsitek sedang merancang atap segitiga untuk sebuah bangunan. Sudut tajam di sudut atas atap adalah 60 derajat. Panjang alas atap adalah 12 meter. Berapa tinggi atap tersebut?

Jawab:

Dalam kasus ini, sudut tajam 60 derajat adalah sudut istimewa trigonometri. Anggap  tinggi atap tersebut sebagai h.

Anda dapat menggunakan trigonometri untuk mencari tinggi atap dengan memanfaatkan sudut 60 derajat dan panjang alas 12 meter.

Tinggi atap / Panjang alas atap = Tangen 60°

h / 12 = √3

h = 12 × √3

h ≈ 20.78 meter

Jadi, tinggi atap tersebut adalah sekitar 20.78 meter.

Contoh Soal 9

Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°

Jawaban:

sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 [105° + 15°] . cos 1/2 [105° – 15°]

= 2 sin 1/2 [120°] . cos 1/2 [90°]

= 2 sin 60° . cos 45°

= 2. 1/2 √3. 1/2 √2

= 1/2 √6

Contoh Soal 10

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dan selisih dua sudut, tentukan nilai dari !

  1. sin 75°
  2. cos 15°

Jawaban a :

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita perlu mengingat kembali rumus selisih dibawah ini:

sin [ α + β ] = sin α cos β + cos α sin β

sin 75° = sin [ 45° + 30°]

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= 1/2 √2 . 1/2 √3  +  1/2 √2 .  1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2

= 1/4 [ √6 + √2]

Jawaban b:

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita perlu mengingat kembali rumus selisih dibawah ini:

cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β

Kemudian kita dapat menjawab pertanyaan di atas.

Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut:

cos 15° = cos [ 45° – 30°]

= cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30

= 1/2 √2 . 1.2 √3 + 1/2 √2 . 1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2

= 1/4 [ √6 + √2]