Mencermati Contoh Soal Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran adalah materi dalam pelajaran matematika yang dapat kita temui di bangku sekolah. Pelajaran yang memerlukan rumus tertentu dalam penyelesaiannya ini berhubungan dengan bangun lingkaran dan unsur-unsur di dalamnya.

Pada artikel kali ini akan dibahas lebih mendalam tentang materi persamaan lingkaran dan contoh soal persamaan lingkaran.

Materi Persamaan Lingkaran

Lingkaran merupakan bangun datar yang memiliki satu sisi lengkung dan membentuk sudut 360 derajat. Jarak setiap titik pada sisi luar lingkaran dengan titik pusat lingkaran adalah sama dan disebut dengan jari-jari (r) atau radius.

Persamaan lingkaran adalah persamaan matematika dengan dua variabel yang memiliki bentuk lingkaran pada kordinat kartesius.

Dalam soal persamaan lingkaran, biasanya terdapat hubungan antara titik pusat dengan titik tertentu pada lingkaran. Mengutip Zenius, terdapat dua aturan yang perlu dipahami dari suatu bentuk persamaan lingkaran, yaitu pusat (O,O) dan (a,b) dengan masing-masing berjari-jari r.

Apabila sebuah lingkaran memiliki pusat (O,O) dengan jari-jari r, maka bentuk persamaannya x²+y²=r².

Jika suatu lingkaran memiliki pusat (a,b) dengan jari-jari r, maka bentuk persamaannya (x-a)²+(y-b)²= r².

Contoh Soal Persamaan Lingkaran

Dirangkum dari berbagai sumber terkait, berikut kumpulan contoh soal persamaan lingkaran:

1. Sebuah lingkaran dengan pusat (1,2) dan memiliki jari-jari 5. Tentukan persamaan lingkaran tersebut!

Jawaban:

p = (1,2) -> pusat lingkaran (a,b)

r = 5

Karena pusat lingkarannya (a,b), digunakan aturan:

(x-a)²+(y-b)²= r²

(x-1)²+(y-2)²= 25

Konversi bentuk standar ini ke bentuk umum:

x²-2x+1+y²-4y+4= 25

x²+y²-2x-4y-20= 0

Sehingga, bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari 5 adalah x²+y²-2x-4y-20=0.

2. Tentukan persamaan lingkaran di titik pusat (4,3) dan melalui titik (0,0)!

Jawaban:

a = 4

b = 3

x = 0

y = 0

Pertama-tama, tentukan r² lingkaran dengan menggunakan persamaan berikut:

(x-a)²+(y-b)²= r²

(0-4)²+(0-3)²= r²

16+9 = r²

r² = 25

Jadi, persamaan lingkaran sebagai berikut:

(x-4)²+(y-3)²= 25

3. Persamaan lingkaran L= (x–5)²+(y–1)²= 1 memotong garis y = 1. Hitunglah persamaan garis singgung lingkarannya?

Jawaban:

Diketahui persamaan lingkaran (x–5)²+(y–1)²= 1, y = 1 di titik:

(x–5)²+(y–1)²= 1

(x–5)²+(1–1)²= 1

(x–5)²+0= 1

x–5= 1 atau x–5= -1

x= 6 atau x= 4

Jadi, terdapat dua titik potong yaitu (6,1) dan (4,1)

Kemudian hitung persamaan lingkarannya seperti di bawah ini:

(x–5)²+(y–1)²= 1

x²–10x+25+y²–2y+1= 1

x²+y²–10x–2y+26= 1

x²+y²–10x–2y+25= 0

Perhatikan persamaan garis singgung yang melalui titik (6,1) terhadap lingkaran L yaitu:

x1.x+y1.y+a(x1+x)+b(y1+y)+c= 0

6x+y–½.10(6+x)–½.2(1+y)+25= 0

6x+y–5(6+x)–1(1+y)+25= 0

6x+y–30–5x–1–y+25= 0

x – 6 = 0

x = 6

Persamaan garis singgung yang melalui titik (4,1) terhadap lingkaran L ialah:

x1.x+y1.y+a(x1+x)+b(y1+y)+c= 0

4x+y–½.10(4+x)–½.2(1+y)+25= 0

4x+y–5(4+x)–1(1+y)+25= 0

4x+y–20–5x–1–y+25= 0

-x + 4 = 0

-x = -4

x = 4

Jadi, persamaan garis singgung lingkarannya adalah x=6 dan x=4.

4. Tentukan:

a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan memiliki jari-jari:

i). r = 4

ii). r = 4√3

b. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (6,−8).

c. Jari-jari lingkaran dengan persamaan:

i). x2 + y2 = 121

ii). x2 + y2 = 128

Jawaban:

a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r adalah x²+y²= r²

i). r = 4, maka persamaannya adalah x²+y²= 4² <> x²+y²= 16

ii). r = 4√3, maka persamaannya adalah x²+y²= (4√3)² <> x²+y²= 48

b. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) adalah x²+y²= r²

Lingkaran melalui titik (6,-8), sehingga diperoleh 6²+(-8)2= r²

<> 36+64= r²

<> r²=100

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan melalui titik (6,-8) adalah x2+y2=100

c. Jari-jari lingkaran dengan persamaan:

i). x²+y²= 121

x²+y²= r² >> r² = 121 >> r=√121= 11

ii). x²+y²= 128

x²+y²= r² >> r²= 128 <> r =√128=√64×2= 8√2