Deret Aritmatika, Pengertian, Rumus, dan Contoh Soalnya

Rumus deret aritmatika ternyata sangat berguna di kehidupan sehari-hari. Pasalnya, penerapan deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari ternyata cukup beragam.

Sebagai contoh, saat Anda masih duduk dibangku sekolah dasar, mungkin uang saku Anda hanya Rp5000. Setelah itu, Anda memasuki jenjang pendidikan menengah pertama dan uang saku bertambah menjadi Rp10.000.

Dan saat masuk ke tingkat menengah atas, uang saku yang didapatkan bertambah menjadi Rp15.000. Tanpa disadari, pertambahan uang saku tersebut termasuk contoh penerapan deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari.  

Lantas, apa sebenarnya deret aritmatika itu? Dan bagaimana cara menghitungnya? Simak penjelasan berikut untuk dapatkan jawabannya.

Apa Itu Deret Aritmatika?

Sebelum mengulas lebih jauh tentang deret aritmatika, kita perlu terlebih dahulu mempelajari konsep baris aritmatika. Menurut penjelasan di “Modul Matermatika Barisan dan Deret Aritmatika”, diterangkan bahwa barisan aritmatika adalah sebuah pola (aturan) tertentu antara suku-suku pada barisan yang selisih antar dua sukunya konstan.

Sementara itu dalam buku “Matematika SMK 2”,disebutkan bahwa deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika.

Sebagai contoh, Anda dihadapkan pada beberapa angka dengan pola selisih yang sama, kemudian Anda diminta untuk mencari jumlah 50 suku pertama. Maka, untuk mempermudah penyelesaian soal tersebut, Anda bisa menggunakan rumus deret aritmatika.

Rumus Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan deret aritmatika merupakan dua hal yang tidak bisa dipisahkan. Dalam menyelesaikan soal-soal deret aritmatika, Anda juga memerlukan rumus barisan aritamatika. Maka dari itu, pada bagian ini kita akan mengenal rumus dari barisan dan deret aritmatika.

1. Rumus Barisan Aritmatika

U_n = a + (n - 1)b

Keterangan:

• a = U₁ = suku pertama dalam barisan aritmatika.
• b = beda barisan aritmatika = U_n – U_n-1 dengan n adalah banyaknya suku
• n = jumlah suku
• U_n = jumlah suku ke n

2. Rumus Deret Aritmatika

Sn = n/2 (a + Un) atau Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)

Keterangan:

• a = U₁ = suku pertama dalam barisan aritmatika.
• b = beda barisan aritmatika = U_n – U_n-1 dengan n adalah banyaknya suku
• n = jumlah suku
• U_n = jumlah suku ke n
• S_n = jumlah n suku pertama

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Agar lebih memahami konsep dari barisan dan deret aritmatika, maka Anda perlu membiasakan diri untuk berlatih mengerjakan soal barisan dan deret aritmatika. Mengutip dari buku “Matematika SMK 2” berikut ini sejumlah contoh soal yang bisa Anda pelajari.

Contoh 1

Diketahui suatu deret aritmatika 2, 5, 8, 11. Maka hitunglah:

a) Jumlah 4 suku pertama.

b) Buktikan bahwa U₃ = S₃ – S₂.

Jawab:

a) n = 4, a = U₁ = 2, b = U_n – U_n-1 = U₂ – U₁ = 5 – 2 = 3

U₄ = a + (4 - 1)b = 2 + 3(3) = 11

S₄ = 4/2 (a + U₄) = 4/2 ( 2 + 11) = 26

b) U₃ = S₃ – S₂

8 = 15 – 7

8 = 8 (terbukti)

Contoh 2

Hitunglah jumlah bilangan asli antara 1 dan 13 yang tidak habis dibagi 3!

Jawab:

Misal, jumlah bilangan yang dimaksud: C = A – B

A = jumlah bilangan asli antara 1 dan 12.

B = jumlah bilangan asli antara 1 dan 13 yang habis dibagi 3.

Langkah 1. Mencari nilai n untuk bilangan A

A = 2 + 3 + 4 + … + 12

a = 2, b= 1, U_n = 12, maka

U_n = a + (n - 1)b

12 = 2 + (n – 1) 1

12 = 2 + n – 1

n = 11

A = S_n = 2 + 12 = 77

Langkah 1. Mencari nilai n untuk bilangan B

A = 3 + 6 + … + 12

a = 3, b= 3, U_n = 12, maka

U_n = a + (n - 1)b

12 = 3 + (n – 1) 3

12 = 3n

n = 4

B = S_n = 4/2 (3 + 12) = 30

C = A = B = 77 – 30 = 47

Jadi, jumlah bilangan asli antara 1 dan 13 yang tidak habis dibagi 3 yaitu 47.

Contoh 3

Pak Andi memiliki pinjaman sebesar Rp 1.200.000 yang akan dilunasi dengan angsuran selama satu tahun. Pak Andi harus membayar angsuran sebesar Rp100.00 per bulan ditambah dengan bunga 1% dari sisa utang. Berapa jumlah bunga yang harus dibayar Pak Andi sampai utangnya lunas?

Jawab:

Bulan pertama: jumlah utang 1.200.000, bunga 12.000

Bulan kedua: jumlah utang 1.100.000, bunga 11.000

Bulan ke-12: jumlah utang 100.000, bunga 1000

Maka, a = 12.000, b = -1000,  n = 12, U_n = 1000

Sn = n/2 (a + Un)

S12 = 12/2 (12000 + 1000) = 78.000

Jadi, bunga yang harus dibayar Pak Andi sampai utangnya lunas sebesar Rp 78.000.