Istilah integral cukup akrab di telinga pelajar maupun mahasiswa yang menempuh pedidikan di jurusan matematika. Materi dasar tentang integral biasanya sudah dikenalkan saat di bangku sekolah menengah atas alias SMA.

Pembahasan atau materi mengenai integral lebih lanjut akan diperoleh saat Anda melanjutkan pendidikan ke jenjang perguruan tinggi. Terutama pada program studi berbasis saintek atau sains dan teknologi.

Sebelum mempelajari integral, Anda disarankan untuk memahami terlebih dahulu materi seperti kalkulus dan diferensial (turunan). Sebab dalam pembahasannya, kedua materi ini saling berkaitan dengan integral.

Sebagai salah satu cabang ilmu matematika, integral dipakai untuk menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan masalah turunan. Umumnya, konsep dasar integral adalah cara penjumlahan berkesinambungan atau kontinu. Integral dapat disebut lawan (kebalikan) dari diferensial. Artinya, integral ini merupakan "anti turunan".

Matematikawan zaman dulu mengembangkan integral agar memudahkan pekerjaan mereka. Seperti yang disebutkan di atas, konsep integral yaitu kebalikan dari diferensial.

Meski dasar-dasar dari ilmu integral pernah diajarkan di sekolah, tidak ada salahnya bagi Anda untuk mempelajarinya kembali. Mengingat, materi ini akan sangat berguna tidak hanya di matematika, melainkan juga sejumlah bidang.

Dalam ilmu matematika, istilah integral ini digunakan untuk menentukan volume benda putar, luas suatu bidang, dan panjang busur. Sedangkan contoh lainnya, yaitu menyelesaikan masalah terkait perkiraan populasi, gaya pada bendungan, volume, panjang kurva dan sebagainya.

Dalam kesempatan ini, Katadata.co.id akan membahas dasar-dasar integral dalam matematika. Materi seperti konsep dasar integral, hubungan integral dengan kalkulus, perbedaan integral dan diferensial, sampai jenis-jenis integral, serta rumus integral bakal dijelaskan. Tentunya dengan sangat sederhana, agar mudah dipahami.

Berikut pembahasan tentang integral, dan simak pembahasannya di bawah ini.

Apa Itu Integral?

Bentuk penjumlahan kontinu yang terdiri dari anti turunan disebut dengan "integral". Merujuk pada buku bertajuk Kamus Matematika: Istilah, Rumus, dan Perhitungan, kata integral sebagai kata benda diartikan sebagai sebuah fungsi. Sedangkan jika dari kata sifat, artinya "dalam bentuk bilangan bulat". Contoh, sebuah polinominal memiliki koefisien integral, berarti koefisien polinominal semuanya bilangan bulat.

Kata polinominal adalah istilah untuk penjumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Dalam sejarah, seorang ilmuan Yunani bernama Archimedes menjadi yang pertama mengemukakan ide atau gagasan tentang integra. Dia berasal dari Syracuse sekitar tahun 287-212 sebelum Masehi.

Archimedes menggunakan integral untuk memecahkan masalah dalam mencari luas sebuah daerah lingkaran. Dengan batasan parabola dari tali busur dan lainnya.

Pada berabad-abad selanjutnya, ada ilmuan bernama Georg Friedrich Bernhard Riemann yang punya andil besar mengembangkan ilmu integral.

Di zaman sekarang, umumnya integral disebut kalkulus integral. Di mana, integral juga bisa didefinisikan menjadi dua macam. Pertama, dilihat dari sudut pandang ilmu aljabar, integral yaitu operasi invers dari operasi turunan. Kemudian dalam geometri, integral adalah metode untuk mencari luas daerah limit dari jumlah.

Dalam buku Kalkulus Diferensial dan Integral (Teori dan Aplikasi), integral dapat disebut sebagai fungsi. Fungsi (F) merupakan "anti turunan" atau "anti diferensial". Integral dari fungsi (f) pada selang (I), jika F (x) = f (x) berlaku untuk setiap "x" dan "I".

Penjelasan di atas bisa disederhanakan. Dalam aljabar terdapat istilah operasi invers atau kebalikan. Contoh, kebalikan dari penjumlahan yaitu pengurangan, serta kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Dari uraian ini, integral bisa disebut sebagai kebalikan dari turunan.

Bunyi sederhananya:

Suatu fungsi disimbolkan: "F", bisa disebut anti turunan dari suatu fungsi "f" pada selang "I". Jika setiap nilai "x" di dalam "I", maka berlaku seperti ini F (x) = f (x).

Agar lebih mudah memahaminya, Anda bisa memperhatikan contoh di bawah ini.

Pertanyaan:

Sebuah fungsi diketahui sebagai berikut f (x) = 4x3. Tentukan anti turunan dari fungsi tersebut.

Jawaban:

1. Jika fungsi F(x) = x4 diturunkan, jadinya F(x) = f(x) = 4x3.

2. Jika fungsi F(x) = x4+2 diturunkan, maka F(x) = f(x) = 4x3.

3. Jika fungsi F(x) = x4-3 diturunkan, maka F(x) = f(x) = 4x3.

4. Jika fungsi F(x) = x4+C (konstanta) diturunkan, maka F(x) = f(x) = 4x3.

Uraian di atas menunjukkan banyak fungsi yang turunannya 4x3. Sehingga bisa disebutkan kalau anti turunan fungsi f(x) = 4x3 secara umum yaitu F(x) = x4+C dengan konstanta sembarang.

Dari contoh di atas, suatu operasi mencari F(x) jika f(x) merupakan kebalikan dari operasi perdiferensialan, maka bisa disebut dengan istilah operasi integral. Kesimpulannya berbunyi:

Bila terdapat fungsi F(x) yang dapat diturunkan pada interval I, maka dF(x)/dx = F(x) = f(x), maka anti turunannya dari f(x) yaitu F(x) = x+C dengan konstanta sembarang.

Konsep Dasar Integral

Jika masih belum paham terkait penjelasan di atas, Anda bisa memperhatikan ulasan berikut.

Merujuk dari modul berjudul Pendidikan Matematik FKIP Unswagati, diterangkan bahwa sebelum masuk ke materi integral, Anda sebaiknya mempelajari dulu konsep turunan. Sebab konsep turunan bisa digunakan untuk memahami konsep dasar integral.

Untuk memudahkan Anda memahami konsep dasar integral, sila perhatikan contoh berikut:

Suatu fungsi memiliki bentuk umum fx= 2x3. Setiap fungsi memiliki turunan f(x) = 6x2. Jadi, turunan fungsi fx = 2x3 yaitu f(x) = 6x2.

Berdasarkan uraian contoh di atas, maka untuk menentukan fungsi f(x) dari fx , berarti menentukan anti turunan dari f(x) .

Melihat dari definisinya yaitu integral adalah operasi invers atau anti turunan (disebut juga anti diferensial), dari diferensial. Bila f(x) merupakan fungsi umum dengan sifat f'x = fx maka f(x) merupakan anti turunan atau integral dari F’x = f(x).

Dalam ilmu matematika, integral bisa dinotasikan sebagai berikut:

∫ f(x) = F(x) + C.

Kemudian, karena biasanya anti turunan dari f(x) dinotasikan dengan  ∫f(x) dx atau "integral f(x) terhadap x". Bentuk ∫f(x) dx disebut integral tak tentu dan f(x) di sebut integran. Dari penjelasan ini maka ∫axndx = an + 1x n+1 + C. Dengan bilangan rasional dan n ≠ 1.

Jenis-Jenis Integral

Dalam materi pelajaran matematika, integral umumnya bisa dibedakan menjadi dua jenis. Pertama, integral yang disebut "integral tak tentu", kwmudian yang kedua adalah "integral tentu".

Materi terkait integral tak tentu dan integral trigonometri, biasanya sudah diberikan saat di bangku SMA. Meski begitu, dalam artikel ini, kedua jenis integral akan dibahas kembali. Dikutip dari buku bertajuk Integral, Anti Turunan dan sumber lainnya, berikut definisi, rumus, dan contoh soal dari kedua jenis integral tersebut:

1. Integral Tak Tentu

Integral tak tentu bisa diartikan sebagai integral yang tidak mempunyai batas. Maksudnya, integral tak tentu adalah sebuah proses untuk menentukan bentuk umum dari turunan dari suatu fungsi yang diberikan.

Rumus Integral Tak Tentu

Jika F(x) turunan dari f(x), maka ∫f(x)dx = F(x) + c maka disebut integral tak tentu, dengan c suatu konstanta sembarang. Rumusnya bisa ditulis: ∫f(x)dx = F(x).

Di mana, simbol dalam rumus di atas bisa diartikan sebagai:

∫ = lambang integral (operasi invers atau operasi anti turunan).

f(x) = turunan dari f(x) + C.

C = suatu konstanta real.

Contoh Soal Integral Tak Tentu

Contoh soal 1.

Pertanyaan: Gunakan rumus integral tak tentu untuk menghitung ∫2 dx.

Jawaban: Jika ditugaskan untuk menghitung ∫2 dx, maka bisa dijabarkan seperti ini "turunan dari 2x + C adalah 2, maka hasilnya ∫ 2 dx = 2x + C".

Contoh soal 2.

Pertanyaan: tentukan nilai dari ∫ x dx.

Jawaban: Diketahui bahwa turunan dari 1/2 x2 + C adalah x. Maka hasilnya ∫ x dx = 1/2 x2 + C.

2. Integral Tentu

Berbeda dengan integral tak tentu, jenis integral tentu merupakan integral yang memiliki batas. Batas-batas ini umumnya suatu nilai konstanta atau bisa juga variabel. Untuk mencari nilai dari jenis integral ini, maka perlu mensubstitusi batas atas ke fungsi hasil integral. Selanjutnya, dikurangi hasil substitusi batas bawah di fungsi hasil integral.

Rumus Integral Tentu

Rumus integral tentu bisa ditulis "a∫b f(x)dx = f (b) - f (a).

Rumus di atas bisa dijelaskan arti dari simbolnya. Berikut uraiannya:

f(x) = fungsi yang nantinya akan Anda integralkan.

F(a) = nilai integral pada batas bawah.

F(b) = nilai integral pada batas atas.

d(x) = variabel integral.

a = batas bawah pada variabel integral.

Contoh Soal Integral Tentu

Diketahui ∫41 4x dx.

Jawaban

∫41 4x dx = 2x2]41 = 2(4)2 - 2(1)2 = 32 - 1 = 30.

Hasilnya adalah 30.

Penerapan Integral dalam Kehidupan Sehari-hari

Sebagai salah satu cabang ilmu matematika, praktik penerapan integral ternyata bisa ditemukan di kehidupan nyata. Berikut daftar penggunaannya:

1. Menentukan Luas Daerah

Menentukan luas daerah di atas sumbu X.

Menentukan luas daerah di bawah sumbu X.

Menentukan luas daerah di atas maupun di bawah sumbu X.

Menentukan luas daerah di antara dua kurva.

2. Menentukan Volume Benda Berputar

Menentukan volume benda berputar, yang diputar mengelilingi sumbu X.

Menentukan volume benda berputar, yang diputar mengelilingi sumbu V.

Menentukan volume benda berputar yang dibatasi kurva f(x) dan g(x), bila diputar mengelilingi sumbu X.

Begitulah pembahasan tentang integral, meliputi dasar-dasar integral hingga rumus integral. Ilmu ini bisa Anda pelajari, mengingat banyak dokumen atau buku-buku yang membahasnya.

Meski kelihatannya susah, materi ini sebetulnya bisa dipahami. Caranya, dengan mempelajarinya secara rutin.