Pengertian dan Contoh Soal Deret Aritmatika

Deret aritmatika termasuk materi dasar dalam pelajaran matematika. Untuk memahaminya, bisa juga lewat contoh soal deret aritmatika, di sana biasanya akan ditemui materi barisan aritmatika yang saling berkaitan.

Barisan Aritmatika

Secara sederhana, barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama atau tetap. Contoh barisan aritmatika, yaitu 5,10,15,20. Dalam barisan tersebut, setiap suku memiliki beda atau selisih yang sama, yaitu 5.

Mengutip Zenius, ada beberapa rumus terkait barisan aritmatika yang bisa digunakan untuk menghitung suku ke-n, jumlah, atau cara mencari beda (b) dari suatu barisan aritmatika.

Rumus barisan aritmatika:

U_n = a+(n-1)b

Keterangan:

Un = suku ke-n

U1 = a = suku pertama (ke-1) dalam barisan aritmatika.

b = beda.

n = suku ke-

Bisa juga mencari beda (b) pada barisan aritmatika dengan rumus berikut:

b = U_n - U_n-₁

Deret Aritmatika

Setelah memahami barisan aritmatika, barulah dilanjutkan dengan materi deret aritmatika (Sn). Deret aritmatika adalah jumlah dari seluruh suku-suku yang ada di barisan aritmatika.

Deret aritmatika juga bisa diartikan sebagai barisan yang nilai seluruh sukunya diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan suku sebelumnya dengan suatu bilangan. Artinya, jika diketahui barisan aritmatika adalah U1,U2,U3, maka deret aritmatikanya yaitu U1 + U2 + U3.

Contohnya, jika disuruh mencari deret aritmatika jumlah 5 suku pertama dalam barisan 4,8,12,16,20, maka jumlah suku pertamanya yaitu  4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60.

Kita juga bisa mencari deret aritmatika pada ratusan suku pertama suatu barisan dengan mengandalkan rumus sebagai berikut:

Sn = 1/2n(a+Un)

Dalam barisan aritmatika, rumus deret aritmatika:

Sn = 1/2n(2a+(n-1)b)

Keterangan:

Sn = jumlah n suku pertama deret aritmatika

Un = suku ke-n deret aritmatika

a = suku pertama

b = beda

n = banyaknya suku

Contoh Soal Deret Aritmatika

Dikutip dari beberapa laman terkait, berikut beberapa contoh soal deret aritmatika:

1. Suatu deret aritmatika 5,15,25,35...

Berapakan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika di atas?

Jawaban:

n = 10

U₁ = a = 5

b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b )

S10 = ( 2.5 + (10 -1) 10)

= 5 ( 10 + 9.10)

= 5 . 100 = 500

2. Berapakan jumlah 20 suku pertama deret 3 + 7 + 11 +...

Jawaban:

Pertama-tama, hitunglah pembeda (b) dengan cara mengurangi suku setelah dengan suku sebelumnya:

b = Un - Un-1

b = U2 - U1

b = 7-3 = 4

Selanjutnya, substitusi b = 4 untuk mencari S₂₀:

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

= 20/2 (2x3 + (20-1)4)

= 10 (6 + 19 x 4)

Sn = 10 (6 + 76)

Sn = 10 (82) = 820

Dengan demikian, jumlah suku pertama adalah 820.

3. Tentukan rumus Sn jika diketahui barisan aritmatika dengan rumus Un = 6n-2

Jawaban:

Diketahui Un = 6n-2, kita perlu mencari barisan bilangan U1,U2,U3, dengan mensubstitusi nilai n= 1,2,3 sebagai berikut:

Mencari a:

U₁ = 6(1) - 2 = 4

U₂ = 6(2) - 2 = 10

Mencari b:

b = U2 - U1

b = 10 - 4

b = 6

Maka substitusi nilai a = 4 dan b = 6, mencari rumus Sn sebagai berikut:

Sn= 1/2n (2a + (n-1)b)

Sn= 1/2n (2.4 + (n-1)6)

Sn= 1/2n (8 + 6n - 6)

Sn= 1/2n (6n + 2)

Sn= 3n2 + n

Jadi rumus Sn yaitu Sn = 3n2 + n.

4. Hasil dari deret aritmatika berikut: 5 + 7 + 9 + 11 +....+ 41 adalah?

Jawaban:

Dari barisan di atas, diperoleh:

a = 5

b = 2

Un = 41

Menentukan Un = 41

a + (n-1)b = 41

Maka, harus mensubstitusikan nilai a,b, dan Un untuk mencari nilai n:

5 + (n-1)2 = 41

5 + 2n-2 = 41

2n + 3 = 41

2n = 38

n = 19

Untuk mencari nilai Sn:

Sn = n/2(a + Un)

Maka perlu mensubstitusi nilai a dan Un untuk mencari S₁₉:

S₁₉ = 192/2 (5 + 41)

Jadi, S₁₉ = 192 x 46

Maka, S₁₉ = 437.