Memahami Rumus dan Contoh Soal Deret Geometri
Deret geometri sendiri adalah arisan yang tersusun dengan aturan, yaitu suku-sukunya merupakan hasil kali dari suku tertentu sebelumnya dengan pengali yang tetap. Sederhananya deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri.
Agar lebih paham tentang ilmu matematika ini, berikut dibawah ini pembahasannya mulai dari rumus hingga contoh soalnya.
Rumus Deret Geometri
Rumus deret geometri digunakan untuk mencari jumlah n suku tertentu dari barisan geometri. Berikut rumusnya:
Pengertian, rumus deret geometri, contoh, soal, dan pembahasan (Si Teman : Matematika SMP IX By Tim Matrix Media Literata)
Keterangan:
Sn = Jumlah suku ke-n
a = Suku pertama
r = Rasio
Contoh Soal Deret Geometri
Berikut ini 15 contoh soal deret geometri dan pembahasannya dari berbagai sumber yang bisa dipelajari agar paham penggunaan rumusnya.
Contoh Soal 1
Jumlah dari 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = ...J
awaban: a = 400
r = 200 : 400
= 100 : 200= ½
n = 6
Jadi jumlah dari 500 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = 787,5
Contoh Soal 2
Deret geometri: 1, 3, 9, 27, 81, …. Hitunglah berapa nilai Sn dalam deret tersebut (n = 3) !
Sn = a (rn – 1) / r – 1
S3 = 1 (33 – 1) / 3 – 1
S3 = (1 x 26) / 2
S3 = 13
Maka, nilai dari Sn untuk n = 3 adalah 13.
Contoh Soal 3
Apabila diketahui suatu deret angka 5 + 15 + 45 + …
Maka, berapakah jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut?
Jawaban:
Diketahui: a = 5, r = 3
Sehingga jumlah enam suku pertama yakni:
Sn = a (rn – 1) / r – 1
S6 = 5 (36 – 1) / 3 – 1 = 3.640 / 2 = 1.820
Jadi, jumlah dari 6 suku pertama barisan geometri tersebut adalah 1.820.
Contoh Soal 4
Diketahui suatu bilangan membentuk deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 +… Carilah berapa jumlah dari tujuh suku pertamanya!
Jawaban:
Diketahui: a = 4, r = 3, n = 7
Sehingga jumlah enam suku pertama yakni:
Sn = a (rn – 1) / r – 1
S6 = 4 (37 – 1) / 3 – 1 = 4372
Maka dari hasil perhitungan, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 4372.
Contoh Soal 5
Rani memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap.
Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?
Pembahasan:
Diketahui:
U1 = a = 3 cm
U5 = 243
Ditanya: Sn =...?
Jawaban esai:
Mula-mula, kamu harus mencari rasio setiap potongan tali tersebut. Maksud tanda (/) adalah per (-)
U5/U1 = 243/3
U5/U1 = 81
r4 = 81
r = 3
Kemudian, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r>1
Sn= a (rn-1)/ r-1
= 3 (35-1)/ 3-1
= 3 (242)/2
= 363 cm
Jadi, panjang tali Rani mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m.
Contoh Soal 6
Un = 192
a . r^(n – 1) = 192
3 . 2^(n –1) = 192
2^(n – 1) = 192/3
2^(n – 1) = 26
n – 1 = 6
n = 6 + 1
n = 7
Sn = a(r^n – 1)/(r – 1)
S7 = 3(2^7 – 1)/(2 – 1)
S7 = 3(128 – 1)/1
S7 = 3(127)
S7 = 381
Jadi, jumlah deret geometri itu adalah 381
Jawaban untuk Pertanyaan B
4 + 2 + 1 + …. + 1/32; a = 4, r = 2/4 = ½, Un = 1/32
Un = 1/32
a . r^(n – 1) = 1/32
4 . (1/2)^(n – 1) = 1/32
(1/2)^(n – 1) = 1/32
(1/2)^(n – 1) = 1/32 . ¼
(1/2)^(n – 1) = 1/128
(1/2)^(n – 1) = (1/2)^7
n – 1 = 7
n = 7 + 1
n = 8
Sn = a(1 – r^n)/(1 – r)
S8 = 4[1 – (1/2)^8]/(1 – ½)
S8 = 4[1 – 1/256]/1/2
S8 = 8(255/256)
S8 = 255/32
S8 = 7 31/32
Jadi jumlah deret geometri itu adalah 7 31/32
Contoh Soal 7
Penambahan jumlah pasien yang terjangkit virus Covid-19 di suatu kota melonjak dua kali lipat di tiap minggunya.
Berdasarkan data yang di rumah sakit, pada minggu pertama terdapat 24 orang yang dinyatakan positif. Pada minggu ketiga, tercatat 96 pasien positif Covid-19. Berapa total jumlah pasien pada bulan kedua?
Jawaban:
Jumlah pasien minggu pertama = U1 = a = 24
Jumlah pasien minggu kedua = U2 = 2 x U1 = 2 x 24 = 48
Jumlah pasien minggu ketiga = U3 = 2 x U2 = 2 x 48 = 96
Pertama-tama kita harus menghitung jumlah pasien pada bulan kedua atau setelah 8 minggu.
Jumlah pasien bulan kedua = 8 minggu = U8
Didapatkan bahwa jumlah pasien pada bulan kedua adalah 3.072 pasien.
Selanjutnya, kita dapat menghitung total jumlah pasien melalui rumus deret geometri.
Sehingga, total jumlah pasien pada bulan kedua adalah 12.384 pasien.
Contoh Soal 8
Sebuah pipa dipotong menjadi 5 bagian. Panjang masing-masing bagian membentuk barisan geometri. Jika potongan pipa terpendek sepanjang 4 cm, dan potongan pipa terpanjang adalah 324 cm, maka tentukan panjang pipa semula.
Jawaban:
a = 4 cm
U5 = 324 cm
Untuk menjawab soal tersebut, pertama-tama kita harus menentukan besar rasio barisan geometrinya.
Didapatkan bahwa rasio (r) barisan geometrinya adalah 3. Sehingga, kita dapat menentukan panjang pipa melalui rumus deret geometri.
Sehingga, panjang pipa semua adalah 494 cm.
Contoh Soal 9
Dalam suatu deret membentuk 4 + 2 + 1 + 1/2 + ¼ ….. Hitunglah berapa jumlah barisan geometri dari susunan suku tersebut!
Jawaban:
Diketahui a = 4 dan r = ½
Ditanyakan: Sn = ?
Sn = a / (1 – r) = 4 / (1 – ½) = 4 / (½) = 4 x 2 = 8
Jadi, jumlah barisan geometri dari susunan bilangan tersebut adalah 8.
Contoh Soal 10
Dalam suatu susunan bilangan yang membentuk deret geometri, diketahui bahwa suku pertamanya 3 serta suku ke sembilan adalah 768. Jadi, berapa suku ke-7 dari deret bilangan tersebut?
Jawaban:
Diketahui a = 3, U9 = 768
Un = a(rn-1)
768 = 3 (r9-1)
768 = 3 x r8
r8 =768/3
r8 = 256
r8 = 28
r = 2
Maka suku ketujuh adalah U7 = 3 x 26 = 194.
Contoh Soal 11
Rasio =
r = U2/U1 = ½
Sehingga, rasio deret tak terhingga dari 2 + 1 + ½ + ... adalah ½.
Jumlah deret geometri tak terhinga.
S∞ = a/(1-r)
= 2/1-1/2
= 2/1/2
= 2 x 2 / 1
= 4
Jadi, jumlah deret geometri tak terhinga adalah 4.
Contoh Soal 12
Hitunglah jumlah deret tak terhingga berikut.
S∞ = a / 1 -r
= 1/ 1 – ½
= 1 / ½
= 2
Jadi, jumlah deret geometri tak terhingga adalah 2.
Contoh Soal 13
√2 + 1 + ½√2 + ½ + ...
S∞ = a / 1 -r
= √2/1 - √2/2
= √2/1 - √2/2 dikali 2/2
= 2√2/2 - √2 dikali sekawan
= 2√2 x 2 + √2 / 2 - √2 x 2 + √2
= 2√2(2+√2) / 4 – 2
= √2(2+√2)
= 2(√2+1)
Contoh Soal 14
Tentukan jumlah 9 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + …
Penyelesaian:
Diketahui: a = 3
Ditanya: S9
Jawab:
Contoh Soal 15
Seutas tali dibagi menjadi 6 bagian dengan ukuran panjang membentuk deret geometri; jika bagian yang paling pendek 3 cm dan yang terpanjang 96 cm, tentukanlah ukuran panjang tali tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui: Un = 96; a = 3; n = 6
Ditanya: S7
Jawab:
Un = arn-1
⇔ 96 = 3 . r5
⇔ r5 = 32
⇔ r = 2
Karena r > 1, maka rumus penghitungan yang berlaku adalah
Jadi, ukuran panjang tali tersebut adalah 189 cm.
Itulah rangkuman informasi mengenai rumus dan contoh soal deret geometri yang bisa dipelajari.
