Memahami contoh soal himpunan dapat mengasah kemampuan dalam memecahkan masalah, khususnya terkait materi matematika ini. Dalam ilmu matematika, materi himpunan biasanya akan mulai dipelajari sedari jenjang pendidkan menengah pertama alias SMP.
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah rentetan objek yang memiliki sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas atau segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.
Dalam ilmu matematika, terdapat teori himpunan baru saja diciptakan di masa akhir abad ke-19, pada saatnya merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern.
Mengutip laman Zenius.net, himpunan adalah bentuk dari kumpulan benda atau objek yang anggotanya bisa didefinisikan dan ditentukan secara jelas. Di sisi lain himpunan adalah sebagai kumpulan obyek yang terukur dan dapat diketahui anggota-anggota dalam himpunan tersebut.
Dalam himpunan disebut dengan frasa “anggota himpunan” dan “bukan himpunan”. Jika termasuk “bukan himpunan”, maka anggotanya tidak bisa ditentukan dengan jelas dan juga tidak bisa diukur.
Jenis-jenis Himpunan
Terdapat beberapa jenis himpunan, yakni:
1. Kardinalitas
Kardinalitas merupakan banyaknya anggota himpunan yang tidak sama. Agar dapat menyatakan anggta berbeda, maka digunakan notasi n.
2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta memuat seluruh objek atau anggota yang dibicarakan. Himpunan ini ditulis dengan lambang S.
3. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
Hukum Himpunan
Hukum komutatif
p ∩ q ≡ q ∩ p
p ∪ q ≡ q ∪ p
Hukum asosiatif
(p ∩ q) ∩ r ≡ p ∩ (q ∩ r)
(p ∪ q) ∪ r ≡ p ∪ (q ∪ r)
Hukum distributif
p ∩ (q ∪ r) ≡ (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)
p ∪ (q ∩ r) ≡ (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)
Hukum identitas
p ∩ S ≡ p
p ∪ ∅ ≡ p
Hukum ikatan
p ∩ ∅ ≡ ∅
p ∪ S ≡ S
Hukum negasi
p ∩ p' ≡ ∅
p ∪ p' ≡ S
Hukum negasi ganda
(p')' ≡ p
Hukum idempotent
p ∩ p ≡ p
p ∪ p ≡ p
Hukum De Morgan
(p ∩ q)' ≡ p' ∪ q'
(p ∪ q)' ≡ p' ∩ q'
Hukum penyerapan
p ∩ (p ∪ q) ≡ p
p ∪ (p ∩ q) ≡ p
Negasi S dan ∅
S' ≡ ∅
∅' ≡ S
Contoh Soal Himpunan
Dihimpun dari beberapa sumber terkait, berikut beberapa contoh soal himpunan:
1. Diketahui :
P = {x | 5 x 25, x ⋲ bilangan prima}.
Q = {x | 4 x 14, x ⋲ bilangan ganjil}.
Maka tentukanlah anggota dari A ∩ B?
Jawaban:
P = {7, 11, 13, 17, 19, 23}
Q = {5, 7, 9, 11, 13}
A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota P sekaligus merupakan anggota Q, maka:
A ∩ B = {7, 11, 13}
Jadi, anggota dari himpunan A ∩ B adalah {7, 11, 13}.
2. Diketahui sebuah P = { h, e, l, l, o }. Banyaknya himpunan dari bagian P adalah?
Jawaban:
Banyaknya anggota dari P yakni n( P ) = 5
Banyaknya himpunan dari bagian P bisa diketahui dengan menggunakan rumus:
2n(P)
Maka:
= 2n( P )
= 25
= 32
Jadi, hasil banyaknya himpunan dari bagian P tadi = 32.
3. Diketahui himpunan
S = {bilangan asli kurang dari 12}
A = {bilangan ganjil kurang dari 11}
B = {bilangan prima kurang dari 12}
Maka (A ∩ B)c adalah?
Jawaban:
Himpunan Semesta S, Himpunan A, dan Himpunan B jika dituliskan anggota himpunannya adalah:
S = {1,2,3,4,...,9,10,11}
A = {1,3,5,7,9,}
B = {2,3,5,7,11}
/
A ∩ B = {3,5,7}
(A ∩ B)c artinya yang bukan anggota A ∩ B = {3,5,7}, yaitu: {1,2,4,6,8,9,10,11}
4. Diketahui:
A = {x | 1 x 5, maka x adalah bilangan bulat}.
B = {x | x 5, maka x adalah bilangan prima}.
Tentukan hasil dari A u B!
Jawaban:
A = { 2, 3, 4 ,5 }.
B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13 }.
Simbol dari (union atau gabungan) artinya, salah satu cara untuk menggabungkan anggota himpunan yang saling terkait.
A ∪ B = { 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13 }.
Jadi, hasil dari A ∪ B = { 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13 }.