Pengertian Relasi, Contoh Soal dan Pembahasannya

Pengertian relasi adalah suatu yang menyatakan hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan. Relasi sangat erat kaitanya dengan fungsi, di mana keduanya merupakan hal penting dalam berbagai cabang ilmu matematika.

Fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, fungsi dapat diartikan sebagai suatu guna atau manfaat.

Seorang ahli matematika bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), memperkenalkan bahwa fungsi digunakan untuk menyatakan suatu hubungan. Terkait hal tersebut, maka fungsi dapat diartikan sebagai hal yang istimewa dari suatu relasi antara dua himpunan, seperti dikutip dari Modul Matematika terbitan Kemendikbud yang disusun oleh Entis Sutisna, S.Pd.

Bentuk Relasi

Dalam pengertian relasi dalam suatu hubungan dapat dinyatakan menggunakan diagram panah, himpunan pasangan terurut dan diagram kartesius.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B, dinyatakan sebagai R: A → B adalah aturan yang menghubungkan a ∈ A dengan b ∈ B.

1. Diagram Panah

Diagram panah adalah diagram yang membentuk pola dalam bentuk arah panah dari suatu relasi, yang menyatakan hubungan antara anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

2. Himpunan Pasangan Terurut

Sesuai dengan namanya, himpunan pasangan ini dapat dinyatakan dengan cara memasangkan pasangan dari himpunan A dengan himpunan B secara terurut atau berurutan.

3. Diagram Kartesius

Diagram kartesius merupakan bentuk diagram yang terdiri dari sumbu X dan Y, untuk menyatakan dua himpunan dari pasangan terurut yang menghubungkan himpunan A dan himpunan B, dituliskan dalam bentuk titik (noktah/dot).

Misalnya, seperti diketahui bahwa setiap orang tentu saja memiliki nomor sepatu masing-masing. Sekelompok teman akan mencoba untuk membuat relasi dan fungsi dari ukuran sepatu.

Berikut adalah daftar nama dan juga ukuran nomor sepatunya:

Ardi memiliki nomor sepatu 39

Dani memiliki nomor sepatu 40

Aqil memiliki nomor sepatu 42

Rano memiliki nomor sepatu 40

Dian memiliki nomor sepatu 34

Rani memiliki nomor sepatu 35

Dewi memiliki nomor sepatu 33

Dari daftar nama di atas, sebagian memiliki ukuran tunggal (tidak sama dengan yang lainya) dan ada juga yang memiliki ukuran sepatu yang sama, seperti Dani dan Rano. Dalam hal ini relasinya adalah 'nomor sepatu yang digunakan'.

Untuk menyatakan hubungan/relasi tersebut sebagai fungsi, maka relasi dapat digambarkan sebagai diagram panah, himpunan pasangan berurut, dan diagram kartesius. Himpunan A dengan nomor angka yang ada pada himpunan B dari gambar diagram panah di atas adalah relasi nomor sepatu yang digunakan.

Perbedaan Relasi dan Fungsi

Secara sederhana, pengertian relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Hubungan yang dimaksud yaitu hubungan antara daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain). Sedangkan fungsi merupakan relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal ke tepat satu himpunan daerah kawannya.

Perbedaan antara relasi dan fungsi ada pada cara memasangkan anggota himpunan ke daerah asalnya. Pada relasi, tidak ada aturan khusus untuk memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah kawan.

Aturan tersebut hanya terikat atas pernyataan relasi itu sendiri. Setiap anggota himpunan daerah asal boleh mempunyai pasangan lebih dari satu atau boleh juga tidak mempunyai pasangan.

Berbeda dengan relasi, pada fungsi tiap-tiap anggota himpunan daerah asal dipasangkan dengan aturan khusus. Aturan itu mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal mempunyai pasangan dan hanya tepat satu dipasangkan dengan daerah kawannya. Dengan kata lain, setiap relasi belum tentu fungsi, namun setiap fungsi pasti merupakan relasi.

S = {Sapi, Kambing, Kera, Harimau}

P = {Rumput, Pisang, Daging}

Dua himpunan di atas memiliki relasi, yaitu makanan. Jika dinyatakan dalam bentuk diagram panah, akan menjadi seperti berikut.

Himpunan pasangan berurutan menyatakan bahwa setiap himpunan terdiri dari anggota himpunan S dan P secara berurutan atau biasa dilambangkan (x, y) dengan x ∈ S, y ∈ P. Berikut ini contohnya.

S = {Sapi, Kambing, Kera, Harimau}

P = {Rumput, Pisang, Daging}

Relasi antara kedua himpunan tersebut adalah makanan. Jika dinyatakan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan, diperoleh:

Q = {(Sapi, Rumput), (Kambing, Rumput), (Kera, Pisang), (Harimau, Daging)}